Jardín, mayo 2, 2025

Factorial i

 

Factorial i = i!

La función gamma está definida para todos los números complejos excepto los enteros negativos y el cero".

Nota. Al final del blog haremos un breve repaso rápido de la función Gamma de Euler, para mostrar que el concepto de factorial, se extiende a los reales positivos y a los complejos, tal cual se indica en el dominio establecido.

z = a + bi

con tal que a sea un real >=0 (Veremos que esta condición, que aparece en muchos papers, parece ser falsa.

Recordemos que x =e ^ln(x)                                                              (4)

Ahora aplicando la fórmula general para la función Gamma

De acuerdo con la (4)                t = e ^Ln(t)              t ⁱ = e ^ln(t)i         (6)

Recordemos la formula general de los números complejos

e ^iθ = cos(θ) + i sen(θ)

e ^ln(t)i= cos(ln(t)) + isen(ln(t))

Reemplazamos (6) y (7) en la (5) e ^ln(t)i= cos(ln(t)) + i sen(ln(t))

Estas integrales son supremamente difíciles. Creo que no hay un método, (al menos conocido), por técnicas de integración, que permita resolverlas. Además, debemos recordar que el límite inferior es un límite de t, cuando t tiende a 0+ y el superior es cuando t crece tanto como queramos. Son integrales doblemente impropias.

Se pueden resolver por integración aproximada, pero para esto, es conveniente conocer las gráficas de las funciones f(t) = cos(ln(t)) e^t         y        g(t) = sen(ln(t)) et, lo cual también es difícil.

Veamos la primera:

f(t) = cos(ln(t)) e^t

 

t	Cos(ln(t)) e^-t
0,1	-0,60
0,2	-0,031
0,5	0,46
1,0	0,36
1,5	0,21
2,0	0,10

 

En p/2 la función es 0 y luego cada n p/2      n impar, vuelve a ser 0 y así hasta el infinito

La derivada de f(t)      f’(t) = -e ^-t [cox(ln(t)) + sen(t(t)) /t]

En f'(t)= 0, obtendríamos los puntos de máxima y mínima, pero la ecuación no tiene solución, ya que, cada n p/2,    n impar la función pasa de positivo a negativa y hay infinitos puntos críticos.

Derive nos da estas gráficas de f(t) y g(t)

Graficas de f(t) y g(t)

Que sea Derive el que nos resuelva las integrales impropias de forma aproximada, mostradas en (8)

Por tanto

 

i! = 0,493595 - 0,160414i

 

 

Repaso general de la función Gamma

 

La función gamma está definida para todos los números complejos, excepto los enteros negativos y el cero".        

Hacemos la integración por partes

u = t ^x-1            du = (x-1) t ^x-2 dt

dv = (e ^-t) dt        v = - e ^-t

Recordemos que 0 significa: t tiende a 0 e  ∞ significa que t crece todo lo que queramos.

En esas condiciones, la parte algebraica (sin integral) de (9) es un doble límite, más o menos complicado que resolviéndolo nos entrega el valor 0.

Γ (-3/2) = 2,363…….

Γ (1) = 0! = 1

Γ (3/2) = 0,886……..

Γ (5/2) = 1,329….

Γ (7/2) = 3,323….

Γ(i) = 0,493595 – 0,160414 i

 

Gráfica de la función Gamma

Grafica de la función Gamma de x

  

Factorial de números complejos z = a +bi

Para que exista z! se requiere que:

 

Para cualquier dupla (a, b), dibujar las gráficas de:

f(x) = e ^aln(t) b(cos(ln(t)) e ^-t

 

g(x) = e ^aln(t) b(sen(ln(t)) e ^-t

Sería bastante difícil, casi imposible, dibujarlas; habría que hacerlas calculando muchos puntos de cada una; incluso, muchos programas de maths podrían ser incapaces de dibujarlas.

Al final, la única condición que debe tener la dupla (a, b), para que exista (a+bi)! es que las dos integrales impropias de (12) sean convergentes.

En la literatura en la que he buscado dicen que la componente real a del número complejo, debe ser un entero >0 .

Recordar que el blog es hacer el cálculo de 0 + 1i,    con a = 0 y b = 1 y el factorial fue encontrado.

Veamos qué pasa con el complejo 1 + i         con la fórmula (13)

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com