Cuatro problemas de geometría Euclidiana Plana

 

Jardín, septiembre 2021

 

 

Cuatro problemas de geometría

 

1.    Construcción de una circunferencia.

Se sabe que los puntos A, B y D están sobre una circunferencia. Lo único que le entregan a uno es la parte del dibujo que está en rojo. Hallar el radio de esa circunferencia.

Fig 1 -1

Cuando me presentaron el problema, se me ocurrió una solución obvia. La de la figura B. Se escoge un sistema de coordenadas y se conocen 3 puntos de la misma. La ecuación de esa circunferencia es       (x – h)² + (y – k)² = R²          donde (h, k) es el centro de la misma y R el radio.

A (0,0)

h² + k² = R²                                                                                 (1)

B (0,4)

h² + (4 – k)² = R²                                                                        (2)

C (6, 6)

(6 – h)² + (6 -k)² = R²                                                                     (3)

 Desarrollemos la (2)          h² + 16 - 8k + k² = R²                         k =2

Desarrollemos la (3)         36 – 12h + h² + 36 – 12k + k² = R²

72 – 12h – 12k = 0                                                                        h =4

R = √ (2² + 4²) = 2√5

El problema, es que lo presentaron para resolverlo por geometría Euclidiana y haber encontrado primero la solución por geometría analítica, lo que me quitó espacio para maniobrar, ya que cualquier solución que encontraba, trataba de que fuera similar a esta solución.

Por geometría Euclidiana.

Fig 1 - 2

Trazamos la recta auxiliar AH, paralela a BC. Construimos la línea auxiliar DG.

Trazamos la recta auxiliar AH, paralela a BC. Construimos la línea auxiliar DG.

Si trazamos la línea MJ, paralela a BE y AH; (M punto medio de AB); Observando la figura, vemos que la línea MJ es parte de un diámetro. Concluimos que FG = 2.

 

Recordemos la propiedad de las rectas secantes de una circunferencia:

BCxCE = GCxCD

6xCE = 6x2

Por lo que CE = 2

La recta AE es el diámetro de la circunferencia, debido al ángulo recto en B.

(2R)² = 4² + 8²

 2R = √80 = 4√5                                          y    R = 2√5

2.  Encontrar el área en verde, en el triángulo ABC

Fig 2 - 1

Cualquiera sea el triángulo, conocidos los tres lados, siempre es posible encontrar el área, bien sea utilizando la ley del coseno, que nos permite encontrar un ángulo y una altura respecto de uno de los lados o por el método de Herón

A= √ (s (s – a) (s – b) (s – c))                                      s= (a + b + c)/2

No obstante, podemos sospechar que se trata de un triángulo rectángulo.

√ (28² + 21²) = √1225 = 35

Recordemos la propiedad, de que las tangentes trazadas a una circunferencia, son iguales.

Planteamos 3 ecuaciones con 3 incógnitas x, y, r

x + 2r + y = 35                                                                        (1)

Veamos la figura de otra manera:

Fig 2 - 2

Recordemos las fórmulas de trigonometría

cos A/2 = √ ((1 + cosA) /2)

sen A/2 = √ ((1 - cosA) /2)

En la figura 2 – 2                       cos A/2 = √ ((1 + 28/35) /2) = x/√ (x² + r²)

√ (63/70) = x/√ (x² + r²)            x = (3/√10) √ (x² + r²)                                      (2)

cos B/2 = √ ((1 + 21/35) /2) = y/√ (y² + r²)            y = (2/√5) √ (y² + r²)              (3)

La (2) la convertimos en 10x² = 9x² + 9r²                x² = 9r²         x = 3r

La (3) la convertimos en 5y² = 4y² + 4r²                   y² = 4r²        y = 2r

x + y = 5r

La (1) se convierte en 5r + 2r = 35                               r = 5

El área verde es igual a 21x28/2 - 2p (25) = 294 – 157,08 = 136,92 m2

3. Encontrar el área que está sombreada en rojo.

Fig 3 - 1

El área solicitada es igual a la mitad del rectángulo – área sector B - área sector D

Veamos la figura Fig 3 -2

Fig 3 -2

En la figura 3 – 2 está claro que el área solicitada es igual al área del triángulo rectángulo inferior – área del círculo de radio 1

= 4 – p (1)² = 0,858 unidades de área

 

1.   4.  Construir un triángulo del cual se conocen.

La altura, la bisectriz y la mediana que parten de un mismo vértice.

Fig 4 - 1

Altura, bisectriz y mediana, trazadas desde un mismo vértice.

Suponemos el problema resuelto.

Las tres líneas que conocemos tienen el pie, sobre el lado a, que no conocemos.

Construcción:

Trazamos una línea horizontal. (De esta recta va a salir la base a)

Trazamos una perpendicular a la línea anterior, con una longitud igual a la altura. Aquí obtenemos el vértice A y el pie H de la altura.

Con centro en A y longitudes iguales a la bisectriz y a la mediana, ubicamos los puntos I y M

(I pie de la bisectriz y M pie de la mediana.)

Si miramos la figura 4 – 2, la prolongación de la bisectriz corta la mediatriz trazada desde M en un punto P. (La mediatriz referida es la perpendicular a la recta que contiene el lado a, en el punto M).

Si volvemos a mirar la figura 4 – 2, también conocemos la cuerda AP y el centro del círculo circunscrito se encuentra donde se cortan dos mediatrices. Trazamos una perpendicular a AP por su punto medio N y esta se intercepta con la primera mediatriz que trazamos por M.

Fig 4 - 2

En este momento tenemos el vértice A y el punto O, centro de la circunferencia circunscrita. Simplemente trazamos esta circunferencia y así obtenemos los puntos B y C.

 Atentamente,

 

 Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com