Arco capaz - Construir un triángulo ABC, del cual se conoce: ángulo A y medianas que parten de B y C

 

Jardín, septiembre de 2021

 

Concepto de Arco Capaz

 

1.    “El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos del plano, que unidos con los extremos de un segmento AB forman siempre, desde cada uno de esos puntos, un mismo ángulo.”

Fig 1 - 1

Se conoce el ángulo A (rojo) y la cuerda BC (azul).

·         Se colocan en un mismo plano el ángulo <A y la cuerda BC,          No importa su posición relativa.

·         Por B se traza una paralela a uno de los lados del ángulo conocido y por C se traza otra paralela al otro lado del ángulo. En la figura 1 estas paralelas (verde) se cortan en A y con toda seguridad el ángulo BAC = <A (por lados paralelos)

·         Hacemos pasar una circunferencia por los puntos A, B y C. Por M, punto medio de BC trazamos la mediatriz. Por N, punto medio de AC, trazamos la mediatriz. Estas mediatrices se cortan en el punto O, que equidista de los puntos ABC. Trazamos la circunferencia circunscrita. Cualquier ángulo cuyo vértice esté en el arco <DEA, subtendido por la cuerda BC, tiene como medida la mitad el arco de esa circunferencia  (en radianes)o, debajo de la curda BC, que en la figura Fig 1 – 1, se ha borrado.

 

1.   2. Construir un triángulo ABC, del cual se conoce: El ángulo interno A y las medianas que parten de B y C

Fig2 -1

Suponemos el problema resuelto.

Miremos la figura 2 – 2 (es la misma fig 2 – 1), con algunas líneas auxiliares.

Fig 2 - 2

El triángulo a construir es el triángulo ABC. Llamamos BM2 = m2, mediana trazada desde B. Llamamos CM3 = m3, la mediana trazada desde C.

Sabemos que las medianas se cortan a 2/3 del vértice y a 1/3 de la base. En la figura 2 -2, hemos hecho hincapié en esta propiedad. Las medianas se cortan en el punto G.

Lo primero que observamos es que es posible construir el arco capaz del ángulo A (conocido) y la cuerda BM2 (conocida). Se hace con el procedimiento indicado en el punto 1 del blog. Nótese que no se ha determinado el punto A.

Prolongamos la mediana BM2, una longitud (1/3)m2 y llegamos al punto D.

Ahora observamos que la figura ADCG es un paralelogramo, (ya que es un cuadrilátero, cuyas diagonales se cortan en su punto medio. M2 es el punto medio de AC e igualmente el punto medio de GD.)

La distancia DA = (2/3)m3.

La construcción del triángulo ya está completada, porque tenemos el punto D y trazamos, desde D, una circunferencia cuyo radio sea (2/3)m3 y donde esta nueva circunferencia, corte el arco capaz de <A y BC, estará ubicado el punto A.

Sigue prolongar la línea AM2 una distancia igual y estaremos sobre el punto C.

El procedimiento es el siguiente:

Se construye la mediana m2 = BM2 (que es un dato del problema)

Se construye el arco capaz de BM2 y el ángulo <A conocido.

Se prolonga la mediana BM2 una distancia igual a (1/3)m2 y obtenemos el punto D.

Por D trazamos una circunferencia de radio igual a (2/3)m3, que cortará, en el punto A, el arco capaz que hemos construido.

Prolongamos la línea AM2 una distancia igual y llegamos al punto C.

El triángulo pedido se ha construido.

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com