El problema de Basilea

 

Medellín, Colombia, enero 2021

 

 

 

El problema de Basilea

 

Cuál es el valor de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales:

 

 

Si la expresión anterior fuese finita y la igualásemos a 0, sus raíces serían ±nπ.

Para n>0 (n=número natural)

Las raíces serían 0, ±π, ±2π, ±3π, ±4π, ±5π,……………… ±nπ

 

La expresión (1) se podría factorizar así

 

senx=Cx(x-π)(x+π )(x-2π)(x+2π )(x-3π)(x+3π )(x-4π)(x+4π)………(x-nπ)(x+nπ)

 

Euler hizo una extrapolación lógica, que en su tiempo fue cuestionada y dijo que este truco de álgebra se podía extender a expresiones que fuesen infinitas, como es el caso de la expresión (1)

 

Entonces concluyó que

 

senx = Cx(x-π)(x+π )(x-2π)(x+2π )(x-3π)(x+3π )(x-4π)(x+4π)..(x-nπ)(x+nπ)(..)..(2)

 

Cuando n tiende a: ∞

 

Resolviendo los productos que son diferencia de cuadrados obtenemos

 

senx = Cx(x²-π²)(x²-(2π)²)(x²-(3π)²)(x²-(4π)²)……(x²-(nπ)²)(……)….                 (3)

 

Ahora dividimos por x, las ecuaciones (2) y (1) en su orden. Obtenemos:

 

senx/x = C(x²-π²)(x²-(2π)²)(x²-(3π)²)(x²-(4π)²)……(x²-(nπ)²)(……)                     (4)

 

senx/x= 1-x²/3!+x⁴/3!-x⁶/4!... de acuerdo con la ecuación (1)                                 (5)

 

Ahora miremos la ecuación (4)

 

(x²- (nπ)²) =0 =(1-x²/(nπ²), para todo n                                                                   (6)

 

Haciendo este reemplazo en la ecuación (4)

 

senx/x =C (1-x²/(1π²)) (1-x²/(2π²)) (1-x²/(3π²)) (1-x²/(4π²))…… (1-x²/(nπ2))..........

 

senx/x =C (1-x²/π²) (1-x²/4π²) (1-x²/9π²) (1-x²/16π²)…… (1-x²/n²π²)........                    (7)

 

Cuando x tiende a 0, senx/x tiende a 1, de donde podemos concluir que C=1

 

El artificio anterior, ecuaciones (6) y (7), parece otro aventón, para convencer a un profesor ingenuo. No obstante, ha sido objeto de muchos estudios posteriores a Euler y se ha encontrado que es una suposición válida y con rigor matemático.

 

Aquí, Euler asume que dos polinomios iguales deben tener los mismos coeficientes para los exponentes de x

 

El exponente de x² en la expresión (5) es -1/3!                                                    (6)

 

El exponente de x² en la expresión (7) es igual a

 

-[1 /π²/+1/(4 π²⁾+1/(9 π²)+1/(16 π²)+      1/(n² π²)……………..                               (7)

 

Igualando (6) y (7)            -1/3!= -[1 /π²/+1/(4 π²⁾+1/(9 π²)+1/(16 π²)+...      +1/(n² π²)+....

 

Y por tanto,

 

Π²/3! =1+1/2²+1/3²+1/4²-……………..+1/n²…………..

 

Π²/3! es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales.

 

Hay muchas formas de calcular π, unas convergen más rápidamente que otras, pero esta fórmula nos permitiría calcular π.

 

Aprovechando el Excel veamos qué precisión obtenemos con los primeros 1000 números naturales.  La tabla se hizo desde n=1. Aquí mostramos los últimos

 

             n           n^2          1/n^2

985	970225	1,0307E-06
986	972196	1,0286E-06
987	974169	1,0265E-06
988	976144	1,0244E-06
989	978121	1,0224E-06
990	980100	1,0203E-06
991	982081	1,0182E-06
992	984064	1,0162E-06
993	986049	1,0141E-06
994	988036	1,0121E-06
995	990025	1,0101E-06
996	992016	1,008E-06
997	994009	1,006E-06		π^2=3!xsumatoria
998	996004	1,004E-06
999	998001	1,002E-06
1000	1000000	0,000001		π=(√1,64393457)x6
	Sumatoria de 1 a 1000	1,64393457		9,8636074
				3,14063806

 

 

Como vemos el valor obtenido para π es 3,141 Sólo tres cifras decimales, para un trabajo que hoy tarda 10 min en Excel, pero en la época de Euler, manualmente, podría tardar 2 semanas o más.

Aunque no tiene que ver con el tema principal, una forma de calcular π, de forma más eficiente es la siguiente:

Para calcular π utilizaremos la serie infinita de tan^-1x (Maclaurin)

Recordando que tan30 deg = tan π/6 =1/√3 =0,57735025

 

Con x=0,57735025 la serie de tan -1 nos debe devolver un valor aproximado de π/6.

 

              n      arctan en radianes

 

39	5,5506E-21	arctan
40	-1,8034E-21	x=0,57735027
41	5,8628E-22	debe dar como resultado
42	-1,9072E-22	θrad = π/6
43	6,2077E-23
44	-2,0217E-23
45	6,5874E-24
46	-2,1475E-24
47	7,0045E-25
48	-2,2857E-25		π/6 =sumatoria n=1 a 50
49	7,4619E-26		π=6xsumatoria
50	-2,437E-26
	0,52359878	Sumatoria de 1 a 50	3,14159265

 

Aquí hemos sumado 50 términos de la serie arctanx, para x=0,57735027, cuya sumatoria nos debe entregar un resultado aproximado de π/6. ¿Qué tan aproximado es?

Calculemos π=6x(sumatoria) y nos entrega 3,1415927, es decir 7 cifras decimales exactas, que ya es una muy buena aproximación. En Excel, esta suma tardó 10 minutos; a mano, en tiempos de Euler era un trabajo para 2 días o quizás menos.

 

Juan Fernando Sanin

 

juanfernando.sanin@gmail.com