Función de Lambert 6 - Derivación e integración de la función de Lambert

 

Medellín, enero 2021

 

 

Derivación e integración de la función W de Lambert

 

 

Aunque no hay manera de encontrar la función W(x) en forma explícita, si es posible encontrar su derivada y su integral indefinida.

 

Derivación

Gráfico (1)

Si f(x) = xeᶺx, W(x) es una función que toma la imagen xeᶺx por f y la devuelve a su valor x

W(xeᶺx) = x

Hay que tener cuidado de utilizar correctamente el dominio y el rango de W(x).

 

Sea la relación               x=W(x)eᶺW(x)                    (1)

Nota: Para entender la ecuación (1), pensemos que x está en el conjunto B (dominio de W(x) ). La función W la convierte en W(x), que se encuentra en el rango de W (Conjunto A). Ahora si le aplicamos la función original f  a este elemento W(x), W(x)e^W(x) nos regresa al elemento original x en B.

 

Derivemos implícitamente, respecto de x, la ecuación (1)

 

1= W(x)eᶺW(x)dW/dx + eᶺW(x) dW/dx

 

Despejemos dW/dx

 

dW/dx=1/(W(x)eᶺW(x)+ eᶺW(x)) = 1/(eᶺW(x)( W(x) +1))          (2)

 

reemplacemos eᶺW(x) por x/W(x)     (recordar que x=eW(x) W(x) ) de la ecuación (1)

 

dW/dx=W(x)/(x(1+Wx),  siempre moviéndonos en el dominio de W

 

 

 

dW/dx=W(x)/(x(1+Wx)                   (3)

 

 

Esta derivada se puede evaluar en cualquier valor de x, siempre y cuando x esté en su dominio. (el de W(x) co conjunto B.

 

Integración de W(x)

 

∫W(x)dx                                                         (4)

 

u=W(x)        x en el dominio de W

 

x = ueᶺu ,     La función original f se le aplica a u y nos lleva a x

 

dx/du = (ueᶺu+eᶺu)              y       dx=(ue^u+e^u) du

 

∫W(x)dx = ∫udx= ∫u(ueᶺu+eᶺu)du                                                       

 

∫(ueᶺudu+∫uᶺ2eᶺu)du           ambas integrales se realizan por partes:

 

I: ∫(ueᶺudu

f=u                         dg=eᶺudu

df=du                     g=eᶺu

 

∫(ueᶺudu =fg -∫gdu =ueᶺu -∫eᶺudu = ueᶺu -eᶺu                          I

 

II: El segundo integral

 

∫uᶺ2eᶺu)du     también por partes

 

f=uᶺ2                         dg= eᶺudu

df = 2udu                  g= eᶺu

 

= (uᶺ2) eᶺu - 2∫u eᶺudu = (uᶺ2) eᶺu – 2[u eᶺu-eᶺu]                   II

 

El integral ∫udx es:         I + II

 

∫(ueᶺudu+∫uᶺ2eᶺu)du          

 

= ueᶺu -eᶺu +(uᶺ2) eᶺu – 2[u eᶺu-eᶺu] =eᶺu[(uᶺ2) -u +1) +C

∫W(x)dx = eᶺW(x)[(W(x)ᶺ2) -W(x) +1) +C        (4)

 

Ejemplo

 

Dada la gráfica de W(x)

Gráfico (2)

Ejemplo

 

Hallar el área debajo de la curva entre x=0 y x=15

 

Evaluamos la ecuación (4) en 0 y en 15

En 0

W(0)=0

eᶺ0 =1

La anti derivada de W en x=0

 

1(0 -0+1) = 1

 

En x=15

 

W(15) =2,00994

 

eᶺ2,0094 =7,462870

 

La anti derivada en x=15 es

 

7,462870(2,00994² - 2,00994+1) =7,462870(4,039859 – 2,00994 +1)

=22,620981

 

Área =22,620981 – 1 =21,620981 unidades de área

 

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com