Medellín, Marzo de 2016

Construir un triángulo conociendo las alturas.

En el blog anterior se abordó este problema.La dama Teresa Hernandez ha sugerido un método diferente, el cual considera mas sencillo que el que yo plantee anteriormente. Como el método sugerido es realmente sencillo y bonito, lo voy a anexar en el blog.

Suponemos el problema resuelto, triángulo  (1) ABC, en el cual trazamos las alturas ha, hb y hc, que son los datos conocidos y vemos que se cumple la siguiente relación:

ΔABE es semejante al triángulo ΔACF, ya que son triángulos rectángulos y tienen igual los ángulos agudos, por la perpendicularidad de sus lados.

c/hb=b/hc

c/b= hb/hc    (1)

De igual manera

c/a=ha/hc    (2)

a/b=hb/ha    (3)

Ahora construimos el triángulo (2), cuyos lados son las alturas ha, hb y hc que son conocidas.

En el triángulo (2) trazamos las tres alturas que llamaremos xa, xb y xc  (evidentemente también se conocen estas tres alturas del triángulo 2)

Con el mismo razonamiento del triángulo (1)

hb/ha= xa/xb   (4)

ha/hc= xc/xa    (5)

hb/hc= xc/xb    (6)

Uniendo las ecuaciones (1) al (6)

a/xa=b/xb=c/xc

Lo anterior nos dice que si construimos un tercer triángulo de lados xa, xb y xc, A"B"C" será semejante al triángulo ABC y los lados homólogos serán a y xa, b y xb y c y xc.

La construcción del triángulo ABC se obtiene por medio de su triángulo semejante A"B"C", cuyos lados son xa, xb y xc.

Hacemos coincidir los vértices C" y C y la recta B"C" es parte de la base BC del triángulo ABC.

Por C (C") trazamos la altura del triángulo (3), la cual cae en en el punto R. Prolongamos esta recta CR  hasta que un punto F,  tal que CF = hc.

Por F trazamos la perpendicular a la altura CF y así llegamos a los puntos B y A.

Nuestro triángulo ABC quedó construido y sus alturas son ha, hb y hc.

Juan Fernando Sanin E