Construcción de triángulos
Los casos básicos de construcción de triángulos se podrían resumir en: 1. Conociendo los tres lados 2. Conociendo dos lados y el ángulo que forman éstos y 3. Conociendo un lado y los ángulos internos adyacentes a el.
No obstante podríamos plantear otros casos importantes: a) Conociendo las medianas, b) las alturas, c) las bisectrices, y finalmente d) las tres mediatrices.
Hay innumerables casos de construcción de triángulos, algunos muy difíciles y otros, no tanto.
Entre los que hemos considerado en la segunda categoría, hay dos particularmente difíciles: Conociendo las bisectrices y conociendo las mediatrices.
Para el caso de las bisectrices, el problema gráfico ya ha sido resuelto, pero es de una gran complejidad y no lo abordaremos en los próximos blogs. El caso de construir un triángulo conociendo sus mediatrices, es todavía mucho mas difícil. No obstante, será abordado mas adelante, pero no por un método estrictamente geométrico, ya que hemos tenido que recurrir al álgebra y no sólo al álgebra, sino al ordenador y el sofware derive.
Construir un triángulo conociendo las tres medianas
Se conocen las tres medianas AM1, CM2 y BM3
Debemos, con estas longitudes, construir el triángulo ABC
Suponemos el problema resuelto y prolongamos la mediana CM2 una distancia igual a 1/3 de la misma y localizamos el punto H.
Unimos los puntos AH y HB. El cuadrilatero AHBG es un paralelogramo, ya que sus diagonales se cortan en su punto medio. M2 es simultaneamente el punto medio de AB y de GH.
Lo anterior porqué GM2 es, por las propiedades del varicentro, 1/3 CM2 y M2H también lo es por construcción.
Si observamos el triángulo GHB del paralelogramo GAHB, observamos que sus tres lados tienen una longitud que se conoce, ya que corresponden a 2/3 de cada una de las medianas.
(Recordemos que el varicentro se encuentra a 2/3 del vértice y a 1/3 de la base)
Con este razonamiento, el triángulo ABC se construye muy fácilmente, puesto que se conocen los tres lados.
Como conocemos las 3 medianas, podemos encontrar gráficamente tres longitudes iguales a 2/3 de cada una de las medianas.
Con estas dimenciones GH ( 2/3 CM2), HB( 2/3 AM1) y BG ( 2/3 BM3), construimos el triánguloGBH.
Completamos el paralelogramo AHBG. (Ya tenemos dos vértices del triángulo ABC, los puntos A y B).
Para encontrar el vértice C, prolongamos HG una distancia una distancia igual y así encontramos el vértice C.
El triángulo construido es el solicitado, ya que sus tres medianas son AM1, CM2 y BM3.
Construir un triángulo conociendo sus tres alturas.
Este problema es mucho mas difícil y la solución que vamos a presentar, aunque sencilla, es bastante ingeniosa y creativa, por lo que la mayoría de las personas que sabemos realizarla, es porque peviamente la hemos leído en la literatura de la geometría.
Si las alturas son: ha (trazada desde A hasta el lado opuesto), hb y hc.
En un punto P cualquiera del plano ubicamos en direcciones arbitrarias las tres alturas, tal como se indica en la parte izquierda de la figura. No importa para nada el ángulo que se utilice entre estas tres alturas.
Los extremos de estas alturas, son los puntos E, D y F.
Construimos una circunferencia que pase por estos tres puntos E, D y F.
Ahora prolongamos las líneas PE (hc) , PD(hb) y PF(ha), hasta que corten la circunferencia en un segundo punto.
PE se prolonga hasta M
PD no se prolonga, pero se toma el punto N, donde la linea interceptan la circunferencia por primera vez.
Prolongamos PF hasta S.
Ahora por las propiedades de las rectas que interceptan una circunferencia, establecemos la siguiente igualdad:
PExPM = PDxPN = PFxPS
hcxPM/2 = hbx PN/2 = haxPS/2
La expresión anterior es igual al área del triángulo ABC, utilizando la fórmula basexaltura/2, en los tres lados, con sus respectivas alturas.
Por tanto las distancias PM,PN y PS, son los lados del triángulo pedido ABC.
De la gráfica de la izquierda obtenemos en tamaño real PM, PN y PS.
Ahora conociendo los tres lados, la construcción es inmediata. Pintamos el lado a que corresponde al lado BC, en el extremo izquierdo B dibujamos una circunferencia de radio b y en el extremo derecho C, dibujamos una circunferencia de radio c. Donde se corten estas dos circunferencias será el tercer vértice A.
Juan Fernando Sanin E
Más sencillo aún es sabiendo que las alturas son inversamente proporcionales a los lados, se construye un triángulo usando las alturas como lados. Las alturas del triángulo construido con las alturas van a ser proporcionales a los lados. Se construye un nuevo triángulo usando como lados las alturas de las alturas. Este triángulo es semejante al que buscamos y es cosa de amplificarlo prolongando una altura cualesquiera hasta que coincida con el dato y problema resuelto.
ResponderEliminarCuando las alturas caen fuera del triángulo sucede que no se puede construir otro triángulo con dichas alturas
EliminarExcelente procedimiento y realmente mucho más fácil. Construido el tercer triángulo (con lados iguales a las alturas del triángulo construido con las alturas del triángulo que se quiere construir) se traza una altura de este tercer triángulo y se prolonga hasta que tenga una longitud igual a la correspondiente del triángulo a construir.
ResponderEliminarExcelente procedimiento y realmente mucho más fácil. Construido el tercer triángulo (con lados iguales a las alturas del triángulo construido con las alturas del triángulo que se quiere construir) se traza una altura de este tercer triángulo y se prolonga hasta que tenga una longitud igual a la correspondiente del triángulo a construir.
ResponderEliminarOjo que se debe de construir un triángulo de lados PM, PN y PS, que por propiedades de potencia de un punto resulta ser semejante al triángulo ABC, luego se prolonga una altura para obtener el triángulo pedido.
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