SERIES INFINITAS PRIMERA PARTE

Medellín, Septiembre 2011

SERIES INFINITAS

Nota 1. Qué son, para qué sirven?

Una persona desprevenida podría creer que estudiar el comportamiento de una suma infinita, definida por una regla, es algo inocuo, incluso algo para locos. Nada más equivocado. Se puede afirmar que su descubrimiento y estudio han ayudado al desarrollo de la vida cotidiana moderna y están utilizadas en todo lo que vemos en nuestra civilización: casas, edificios, carreteras, puentes, astronomía, física, biología y muchas otras ciencias.

Una serie infinita es algo como

Σ a_n= a₁ + a₂+ a₃+…………+a_n+……………… hasta que n sea tan grande como

queramos.

Por ejemplo

Para valores de n entre 0 e infinito:

Σ1x(1/2)ⁿ = 1 + ½+ ¼ + 1/8 + ………………hasta que n sea tan grande como

queramos.

Imaginemos un perro que está persiguiendo a un conejo y que inicialmente se encuentran a 2 metros de distancia. En el primer salto, el perro le descuenta un metro al conejo. En la medida que el perro se acerca al conejo, se va agotando, de tal manera que cuando está a 1m, en el próximo salto queda a ½ m, en el próximo queda a ¼ m, en el próximo quedará a 1/8 m y así sucesivamente.

Sorpresa, aunque el conejo se quedase quieto, el perro jamás lo alcanzará.

La distancia que separa al perro y al conejo en el momento inicial es de 2 m y la suma de las distancias recorridas por el perro serán:

1 + ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + 1x(1/2)ⁿ <2

Esta suma siempre será menor que 2

Si n es 10 S₁₀ = 1,998046875000000000000000000000

Si n= 30 S₃₀ =1,999999998137350000000000000000

Si n= 40 S₄₀ = 1,999999999998180000000000000000

Si resolvemos este problema en Excel, para n= 50 obtendríamos S = 2. Esto no será cierto. Lo que ocurre es que Excel trabaja con 30 cifras decimales y aproxima por exceso cuando se sobrepasan estas 30 cifras decimales

La suma, no importa cuán grande sea n, jamás llegará a 2, pero, si tomamos n= 10 tenemos una buena aproximación: 2 milésimas.

Si n= 30 la aproximación es mejor, S₃₀ nos da 8 cifras decimales exactas del valor verdadero de la suma infinita (a partir de la cifra 9 ya se presenta un leve error).

Si n= 40, S₄₀= nos proporciona 11 cifras decimales exactas; a partir de la 12 ya hay un pequeño error.

Si n= 50, el Excel nos entrega S₅₀ = 2. La razón es que Excel sólo es capaz de trabajar con 30 cifras decimales exactas. Esto significa que hace sus cuentas y obtiene 29 cifras con 9 y la 30 debe ser mayor o igual a 5 y por tanto nos entrega el valor aproximado de 2.0.

SERIES DE POTENCIAS

La otra aplicación de las series infinitas es el cálculo de las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. En topografía, que es una ciencia básica de la construcción, se relacionan ángulos y distancias. Por las propiedades de los triángulos podemos obtener el valor de las funciones trigonométricas para ángulos como 0^o, 30º, 45º, 60º y 90º. Por propiedades de la trigonometría podemos encontrar ángulos medios, suma de ángulos, ángulos dobles etc. No obstante si en el campo midiéramos un ángulo de 33º 22’ 43.46”, la geometría y la trigonometría nunca nos podrían dar el valor de las funciones trigonométricas de este ángulo, necesarias para realizar todos los cálculos prácticos.

Afortunadamente, esos “locos” que estudiaban las matemáticas inocuas, descubrieron que las funciones que tienen infinitas derivadas, como es el caso de las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, podían ser representadas por series de potencias. A manera de ejemplo la función senx se puede representar por la serie infinita:

Senx =Σ (-1)ⁿ⁺¹ x ^2n-1/(2n-1)! = x - x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7!+……. Hasta infinito. (1)

Descubrieron además los matemáticos, que la función senx puede ser representada por la serie infinita para cualquier valor real de x, siempre y cuando se utilizara la medida natural de los ángulos: el radián. En la serie anterior, para un valor de x (en radianes), mientras más pequeño sea x, y más grande sea n, más preciso es el valor de la función, obtenido por medio de la serie.

Veamos que pasa para x=31º 12’ 14.43”

Este valor en grados es: 31.20400833º

En radianes será: 0.544612685 rad

Ni la geometría, ni la trigonometría son capaces de entregarnos el valor del seno de este ángulo, no así la serie infinita (1)

Veamos los términos de la serie para senx

1---------- + x = 0.544612685

2--------- - x³/3! = -0.026922291

3-------- + x⁵/5! = 0.000399262

4-------- - x⁷/7! =.-0.000002820

5---------+x⁹/9! = + 000000012

De acuerdo con la teoría (que se explicará más adelante), si sumamos los primeros 4 términos, el error cometido al calcular sen 31º 12’ 14.43” es menor que el quinto término, es decir menor que 0.000000012, es decir las primeras 7 cifras son exactas.

Encontremos sen 31º 12’ 14.43 como S₄ (la suma de los primeros 4 términos de la serie que representa a senx)

S_{4 =} 0.518086836, un valor aproximado de sen 31º 12’ 14.43 = 0.518086836

Hasta la 7a cifra, el dato obtenido es exacto. Puede haber un error de + o – 0.00000001,

en la aproximación que se consiguió.

Si utilizamos la calculadora para calcular el sen 31º 12’ 14.43

Obtenemos: 0.518086848 (Vemos que las primeras 7 cifras decimales son iguales.

Cómo hizo eso la calculadora?

Antes de la existencia de las calculadoras científicas, se utilizaban tablas de logaritmos, para realizar cálculos que tuvieran involucradas funciones de senx, cosx, tanx, invsenx, invcosx, invtanx, logx, lnx, e^x y a^x. Estas tablas, que aun se encuentran en las bibliotecas y que son ya curiosidades del pasado, permitieron, hasta bien avanzados los años 70s del siglo XX, realizar todo tipo de cálculos, necesarios para trazar carreteras, medir terrenos, resolver problemas hidráulicos, de suelos y para la física en general, incluyendo la astronomía. No tuviéramos la civilización de hoy si no hubieran existido esas famosas tablas. Y cómo se elaboraron esas tablas?

La respuesta es clara: gracias a las series de potencias que permitían representar estas funciones trascendentes. No hay otra forma.

Con series de potencias se ha calculado los números más famosos como π y e.

Que hace una calculadora cuando le solicitamos calcular el sen 31º 12’ 14.43”?

Primero convierte el valor del ángulo a su medida natural: radianes. Luego, utiliza la serie (1), que la tiene incrustada y hace lo que hicimos nosotros. Internamente decide la precisión. Las más costosas y las graficables tienen mejor precisión, probablemente unas 9cifras exactas. Las tablas de logaritmos, elaboradas con las uñas, llegaban a tener precisiones de 6 cifras decimales como máximo.

En la notas siguientes haremos un estudio un poco más a fondo de este tema tan interesante y sobretodo “útil”, a cuyo descubrimiento debemos reconocer, como uno de los soportes de la civilización actual, al menos de la infraestructura.

Juan Fernando Sanin E

Juanfernando.sanin@gmail.com

GRADIENTE - DIVERGENCIA - ROTACIONAL

Medellín, Agosto 2011

GRADIENTE – DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Un campo vectorial es una función que asigna a cada tripla ordenada (x, y, z) un vector F

F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k

El campo puede ser bidemensional, cuando a cada par ordenado (x, y) le asigna un vector F n- dimensional, cuando a cada enetupla ordenada (x1, x2, ….., xi,…..xn) le asigna un vector de n componentes F.

Un campo escalar es cualquier función f, que a cada tripla ordenada ( o dupla o n-etupla según sea el caso) le asigna un valor único.

1. Gradiente de un Campo Escalar

Sea f (x,y,z) es un campo escalar

Sea ∇ el operador Nabla o Del

∇ = ∂ /∂x i + ∂ /∂y j +∂ /∂z k

∇ f = ∂f /∂x i + ∂f /∂y j +∂f /∂z k

∇ f = grad f = fx i + fy j + fzk

Que es una nomenclatura más amable.

La expresión ∇ f Se denomina gradiente de f y la leemos nabla f o "del" f o gradiente f.

Para el caso de funciones escalares de dos variables f(x, y)

Si u es el vector unitario (senθ, cosθ), ubicado en el plano xy, θ el ángulo que hace el radio vector con la parte positiva del eje x.

Entonces la derivada direccional de f será Duf = grad f. u

Duf = fx cosθ + fy senθ = Mod Grad. Mod u cosβ

Si θ = 0^o……………..Duf = fx

Si θ = 90º……………Duf = fy

Si aplicamos la propiedad del producto escalar para Duf, podremos escribir que:

Duf = Mod Grad. Mod u cosβ

Duf será máximo cuando β = 0, es decir, cuando u tiene la dirección del gradiente.

Esto implica que el vector gradiente tiene la dirección en la cual la derivada direccional es máxima o lo que es lo mismo, la dirección en la cual la función varía mas intensamente (crece o decrece).

Ejemplo 1

f(x, y) = 1/(x² +y²) ^1/2

Grad f= fx i + fy j = -x/(x² +y²) ^3/2i -^- y/(x² +y²) ^3/2j

Ejemplo 2

f(x, y) = y +senx

Grad f = cos x i + j

2. Divergencia de un campo vectorial

Sea

F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k

La divergencia de F es el producto escalar ficticio entre

∇ . F = (∂ /∂x i + ∂ /∂y j +∂ /∂z k ) (M i + N j +P k)

Divergencia F = Div F = ∂ M/∂x + ∂N /∂y +∂P /∂z

Ejemplo 3

F=(x²+y, y² + z, z+ 1)

∇.F= Div F = 2x+2y+1

F=(e ^2x, 3x²yz, 2y²z+x)

∇.F= Div F= 2e^2x+3x²z+2y²

F=(3x²y, -2xy³)

∇.F= Div F=6xy – 6xy²

3. Significado físico de la divergencia

La divergencia de un campo vectorial suele definirse como el producto escalar del operador vectorial nabla o del por el campo vectorial. Con base en esta definición, el matemático inglés George Green estableció el siguiente teorema:

Si tenemos un campo vectorial tridimensional F, dentro del cual hay un volumen V, limitado por una superficie S entonces:

El flujo neto que ingresa o sale del volumen a través de la superficie, es igual a

∫ _S F.n ds……donde n es el vector unitario normal al diferencial de superficie ds.

Este flujo es igual a ∫ _S F.n ds = ∫ _v Div F dv……….. (1)

Figura 1

Flujo de Vectores que entra y sale de un volumen dado, que está en medio del campo vectorial.

Recordemos que ∫_S F.n ds = ∫_v Div F dv = ΣDiv Fi ∆Vi…cuando ∆Vi tiende a 0

Si hacemos la abstracción de que reducimos el volumen hasta convertirlo en infinitesimal, entonces la expresión anterior se convierte en:

∫_S F.n ds = Div Fi ∆Vi……cuando ∆Vi tiende a 0

De donde: Div Fi = (∫_S F.n ds)/ ∆Vi, cuando ∆Vi tiende a 0.

Div F = lim cuando ∆v tiende a 0 de ∫_S F.n ds / ∆V

Es decir, la divergencia es una medida del flujo neto en un punto, por unidad de volumen.

Si la divergencia es positiva en un punto dado, y si este flujo neto es positivo, se dice que el punto es una fuente. Si pensamos en un gas saliendo a presión por la boquilla de una manguera, el gas se dispersa, lo que nos indica que en una fuente, las líneas de flujo que salen del punto dado tienden a abrirse.

Cuando la divergencia es negativa, están entrando más vectores que los que salen y el punto actúa como un sumidero y en un sumidero, las líneas de campo o de flujo, se van acercando unas a otras, hasta casi confundirse en el punto.

Si la divergencia de F es cero, no hay flujo neto a través de la superficie.

Si un líquido que es incompresible, se mueve de acuerdo con un campo de velocidades, la divergencia tiene que ser 0, ya que la incompresibilidad del mismo, no permite ni aumento, ni disminución de la masa en un volumen dado.

Una divergencia elevada en un punto dado, indica que en ese punto el campo se está "abriendo" como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual. Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo. Una divergencia negativa indica que en ese punto el campo se está cerrando o está siendo absorbido como en un desagüe o sumidero.

4. Rotacional de un campo vectorial

El Rotacional de un campo vectorial F, es otro vector o campo vectorial que se obtiene al multiplicar vectorialmente el operador nabla o del por el vector F.

Figura 2 Definición Rotacional

Ejemplo 4

F= (y², x², z²)

Aplicando el determinante

Rot F = 2(x –y) k

Ejemplo 5

F=(y/(x²+y²)^1/2 –x, -x/(x²+y²)^1/2 –y, 0)

Para encontrar el rotacional de F utilizaremos el siguiente determinante:

i…………………………..............j………………....... k

∂/∂x………………….............∂/∂y………………....∂/∂z

y/(x²+y²)^1/2 –x….-x/(x²+y²)^1/2 –y…………...0

Figura 3 Rotacional de un campo vectorial

Si el campo vectorial es sólo en el plano xy, entonces, el rotacional de éste, si existe, es perpendicular al plano xy, es decir tiene la dirección k.

Respecto de la interpretación del rotacional encontré interesante este apunte:

Gus Preguntas y respuestas yahoo.

“EL ROTACIONAL o rotor es un vector que indica cuán curvadas están las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual a cero en un punto dado, significa que en esa región las líneas de campo son rectas (aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse simétricamente si existe divergencia en ese punto)

Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.”

Ejemplo 6

Veamos el campo gravitatorio en el plano xy

i…………………………..................j……………….. k

∂/∂x…………………...................∂/∂y…………..∂/∂z

y/(x²+y²)^1/2 –x….-x/(x²+y²)^1/2 –y…………..0

Figura 4 Campo gravitatorio en el plano xy

F=(-gmx/(x²+y²) ^3/2, -gmy/(x²+y²) ^3/2, 0)

Si aplicamos el determinante que define el rotacional de este campo éste será:

k(∂(-gmy/(x²+y²) ^3/2) ∂x - ∂(-gmx/(x²+y²) ^3/2) ∂y))=k(3xy/(x²+y²) ^5/2- 3xy/(x²+y²) ^5/2)

Rot F = 0

Como se ve en las líneas de flujo del campo, en cada punto de éste, está representado por un segmento recto. Aunque las líneas no son paralelas, no hay en ellas el componente rotacional.

El rotacional de un campo es 0 en un punto dado, cuando en ese punto las líneas de flujo no tienen un componente rotacional o curvo, como es el caso que nos ocupa.

Ejemplo 7

Considerar el campo vectorial de la figura 5

Figura 5

Rot F = 2 e^x seny k

En la figura 5 vemos como las hay una tendencia curva en las líneas del campo.

En el punto (1, 1). En este caso Mod Rot F = 2 e sen 1= 4.57

Para este ejemplo, la divergencia de F en (1, 1) es igual a

Div F = e^x cosy + e^xcosy = 2e^x cosy

En (1, 1) Div F = 2.94

Eso significa que en este campo, en este punto (1, 1) no sólo tiene tendencia a rotar sino también a abrirse.

Ejemplo 8

F= (2x, 3y, 0)

Figura 6

En este campo, en el punto (1, 1) el rotacional Rot F= 0, lo que indica que no hay componente rotacional en el flujo. La divergencia es igual a 5, lo que indica que una dispersión del campo. En cada punto del plano hay una fuente.

Ejemplo 9

Sea F= (x²yz², xyz², x+y+z)

Aplicando la fórmula del rotacional obtenemos:

Rot F =(1-2xyz)i –(1-2x²yz)j +(yz²-x²z²)k

La divergencia de F será

Div F =2xyz²+xz²+1

Veamos como son el rotacional y la divergencia en (0, 0, 0), (1, 1, 1)

(0, 0, 0)...... Rot F = i - j ……….Div F = 1

O sea que este flujo, en este punto tiene una fuente y además el flujo tiene una tendencia rotacional.

La rotación del flujo se da en un plano cuya normal es el vector i - j y además, como la divergencia = 1, su flujo tiene a abrirse (es una fuente)

(1, 1, 1)...... Rot F = -i + j.........Div F = 4

En este punto, el flujo tiene una tendencia rotacional en el plano cuya normal es el vector -i+j , y como la divergencia es igual a 4, hay una fuente.

Ejemplo 10

La divergencia de un rotacional es igual a 0

F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k

Rot F = (Py - Nz, -Px + Mz, Nx – My))

Div Rot F = Pyx – Nzx - Pxy + Mzy + Nxz - Myz

= 0

Existirá el Rot (Div F)?

Nota: Un campo cuyo rotacional es 0, se llama irrotacional.

Juan Fernando Sanin

Juanfernando.sanin@gmail.com