Cómo llegaron los griegos a la fórmula del área del círculo y 3 problemas adicionales

 

Medellín, marzo 2022

 

 

 

1.    El triángulo rectángulo de la figura tiene catetos que miden 5 y 12 m. Es posible inscribir un cuadrado, tal cual se muestra en la figura. Calcular el área de ese cuadrado.

 

Fig 1

 

Primero definamos las variables.

x lado del cuadrado

y Longitud AE

 

AD=√(x²+y²)

DC=5-√(x²+y²)

Los triángulos: original ABC, el verde AED y el café DCF son rectángulos y semejantes, ya que tienen los ángulos agudos iguales.                       (1)

 

Triángulos ABC y AED

x/12 =y/5                                                                      (2)

Triángulos ABC DCF

x/13 = (5-√(x²+y²))/5                                                    (3)

De (2)  y=(5/12)x       y la llevamos a la (3)

 

x/13=(5-√(x²+y²))/5

 

x/13 =(5-√(x²+(25/144)x²)/5

 

x/13=(60-13x)/60

 

(60+169)x=780                                    x=3,4061      y el área pedida es 11,60 U2

 

1.  Porqué los antiguos supieron que el área del circulo era πR²

 

Primero, advierto que, no entiendo cómo los antiguos griegos y romanos podían hacer operaciones aritméticas, utilizando números romanos u otros glifos.

 

De Wikipedia saco esta nota:

“Los números que todos usamos habitualmente (1, 2, 3, 4,…etc) son llamados “números arábigos” para distinguirlos de los “números romanos” (I. II, II, IV,V…). Los árabes popularizaron estos números, tomados de los persas, indios, aunque se piensa que su origen se remonta a los comerciantes fenicios, que los usaban, para contar y llevar la contabilidad comercial.”

 

Para saber que el área del círculo es πR2, partimos de que conocemos que los antiguos descubrieron que en cualquier circunferencia la relación entre el perímetro y el radio era una constante y que esta era el número π.

 

Supongamos que tenemos un círculo de radio R partido en 8 sectores, como muestra la figura

 

Fig 2

 

Supongamos que podemos poner los 4 sectores superiores (rojos) como se muestra en la parte superior de la figura y los sectores inferiores (azules), encajados en los huecos que dejan los sectores rojos.

 

La longitud de la parte superior roja vale πR y la altura es h, que es inferior a R.

Una aproximación al área sería πRh       y h no es muy diferente a R.

 

En la figura 3, hemos dividido el círculo en 32 sectores, 16 superiores (rojos) y 16 inferiores (azules) y los colocamos ambos como en el caso anterior. De manera igual, vemos que la parte roja sigue siendo πR y que la altura, ahora es más cercana a R, aunque sigue siendo inferior.

Fig 3

 

La intuición de los griegos los llevó a pensar que, si en vez de 32 sectores, fueran 64, la aproximación sería mejor y más aún, si pudiéramos repetir este proceso, hasta divisiones muy grandes, el resultado ya no sería aproximado, sino exacto

 

A=πR²

 

Lo anterior es una especie de integración intuitiva, que pudo servir de apoyo para que Leibniz y Newton descubrieran el cálculo diferencial e integral.

 

1.    Hallar el valor de x

Vemos ahora que x=2√x                                x²=4x    y       x=4

 

 

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

Potencia de una matriz diagonalizable

 

Medellín, marzo 2022

 

Potencias de una matriz diagonalizable

 

Sea A∈Rn×n;

A∈Rn×n es diagonalizable si existe P∈Rn×n, donde P∈Rn×n es invertible, tal que:

P^–1AP=D

Donde D es una matriz diagonal.

 

Recordemos de la entrada anterior del blog que:

 

Si la matriz P es la matriz cuyas columnas son los eigenvectores de A

 

P^-1AD=D

 

D será la matriz diagonal, que se obtiene con los autovalores; estos están ordenados de acuerdo con el orden de los auto vectores, en las columnas de P

 

P^–1AP=D                  P(P^-1AP) P^-1= PD                AP=PD        A=PDP^-1

         

Las tres últimas expresiones son bastante útiles.

 

Cómo veremos a continuación, esta relación permite calcular fácilmente potencias de matrices diagonalizables.

 

A=PDP^–1                                                 (1)

 

Ahora, calculemosA²:

 

A²=PDP^–1.PDP^–1

El producto de matrices es asociativo, entonces:

A²=PDIDP^–1

A²=PD²P^–1

 

En general, en términos prácticos, es mucho más sencillo calcular D² que A², y más aún en caso de que los exponentes sean mayores.

Las potencias de una matriz diagonal se obtienen calculando las potencias de los elementos que están en la diagonal principal:

Ensayar con matrices diagonales 3x3 y potencias 2 y 3)

Para calcular Aⁿ, observar que A = PDP ¹. Por lo tanto:

Aⁿ= (PDP^-1) ⁿ

= (PDP^-1) (PDP^-1) ... (PDP^-1)

= PDⁿP^-1                                                               (3)

Veamos esto con ejemplos

Ejemplo 1

Si fuera A¹⁰⁰ no hay duda que, la única manera de hacer este trabajo es por el método:

A¹⁰⁰ = PD¹⁰⁰P^-1

Ejemplo 2

Sea la matriz A

Hallar A⁵

Con una matriz 3x3, la multiplicación directa, hasta llegar a A⁵, sería muy engorrosa.

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Eigen values y Eigenvectores

 

Medellín , febrero de 2022

 

 

Vectores propios o Eigenvectores de una matriz - Eigen Valores o valores característicos de una matriz

 

Los vectores propios o eigen vectores o auto vectores son los vectores no nulos de una aplicación lineal que, cuando son transformados por ella, dan lugar a un múltiplo escalar de ellos (no cambian de dirección). Este escalar es el valor propio o auto valor o eigenvalor.

A_nxnv_nx1 = λv_nx1

Donde A es la matriz de la aplicación lineal, v es el vector propio y “λ”el valor propio o eigenvaor.

 

Calcular los valores propios (o autovalores) y los vectores propios (o autovectores) de una matriz

Para hallar los valores propios y los vectores propios de una matriz se debe seguir todo un procedimiento:

1.Se calcula la ecuación característica de la matriz resolviendo el siguiente determinante:

Det(A-λI)

2.Se hallan las raíces del polinomio característico obtenido en el paso 1. Estas raíces son los valores propios de la matriz.

Det(A-λI)=0          nos da los valores de λ1, λ2, λ3,        λn

3.Se calcula el vector propio de cada valor propio. Para ello, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para cada autovalor:

(A-λI)v = 0

Este es el método para encontrar los autovalores y los autovectores de una matriz, Auto vectores, vectores propios, vectores característicos o eigenvalues son sinónimos, al igual que auto valores, valores característicos, valores propios o  eigenvalues.

Ejemplos 1

Sea la matriz

Se plantean tres ecuaciones

-x+2y+3z=0

     -2y+2y=0

         z –z =0

En este sistema podemos darle valores arbitrarios a y. También a z         y=z=1, de la primera x=5

Un vector característico será (5, 1, 1)^T   

Con λ2=1

(A-λI)v = 0

Y el sistema de ecuaciones para hallar v2 será

 

2x+2y+3z=0

y+2z=0

y+2z=0

Si hacemos z=1, y =-2        x será 2x=-2y-3z = -2(-2)-3(1) = 1     y x= ½

El vector será: (1/2, -2, 1) u otro colineal sin fraccionarios (1, -4, 2)^T  

No es difícil ver que los vectores v1, v2 y v3 no son dependientes

 

Matrices semejantes o similares.

Definición:

Anxn es similar o semejante a B nxn, si existe una matriz P tal que B = PAP^-1

P es una matriz de paso, que sólamente es importante saber cómo se encuentra, cuando la matriz B es la matriz diagonal, cuyos elementos son los eigen valores.

Teorema:

Si dos matrices A y B nxn son semejantes, los valores característicos de ambas matrices son iguales.

Demostración:

Consideremos una matriz Pnxn desconocida pero que cumple con lo siguiente:

A=P^-1BP

PolA(λ) polinomio de λ de A, que nos permite hallar los valores de λ de la matriz

A, ese polinomio es  = Det (A - λI);

PolB(λ) Polinomio de λ de B, que nos permite hallar los valores de λ de la matriz B,

Ese polinomio es igual a Det (B - λI)

Veamos que ambos polinomios son iguales: PolA(λ)

Consideremos la matriz P desconocida que mencionamos al principio

PolA(λ) = Det[P^-1BP -λI]                 recordar que P^-1BP=A

PolA(λ) = Det[P^-1BP - P^-1λIP]            P^-1λIP = λP^-1IP

Por la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices:

=Det[P^-1[BP -λIP]] =DetP^-1[B-λI]P

El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| × |B|

DetP^-1 Det[B-λI] DetP

Recordemos que el producto del determinante de una matriz por el determinante de su inversa es igual a 1.

Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa. ... El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz.

Lo anterior implica que

DetP^-1 Det[B-[B-λI]]DetP = Det [B-λI]

Con lo cual queda demostrado.

Ejemplo

Matriz diagonal Dnxn de Anxn

Matriz diagonal D de A, es una matriz cuyos elementos de diagonal son los valores λ1, λ2, λ3,…… λn, eigenvalores de la matriz A.

La matriz D de A es semejante a la matriz A y la matriz de paso P es una matriz nxn cuyas columnas son los eigenvectores de A

Demostremos esto: (En abstracto y suponemos que la matriz de paso P existe y tiene inversa.)

Hemos demostrado que AP = PD

Veamos la definición de semejanza

P^-1AP=D                           Si multiplicamos por P ambos lados, encontramos una expresión equivalente para definir la semejanza de matrices.

AP=PD     Esto fue exactamente lo que demostramos.       

Por tanto A y D son semejantes y la matriz de paso P es una matriz nxn, cuyas columnas son los eigen vectores 1, 2,     ,n correspondientes a los eigenvalores λ1, λ2,     λn

Esta propiedad es muy importante para el próximo blog.

Como se ve si conocemos una matriz A y conocemos la matriz de sus eigen vectores, podemos encontrar la matriz diagonal D cuyos elementos de diagonal son sus eigen valores. Lo que realmente nos comprueba que las matrices A y D con los eigen valores de A, son semejantes.

Realmente, si necesitáramos la matriz Diagonal D de la matriz A, es más fácil hallar los eigen values y construir la matriz diagonal correspondiente, con esos valores.

 

 Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com