Medellín, marzo 2024
Matemática discreta
La matemática discreta considera el estudio de las estructuras matemáticas discretas,
las cuales pueden ser finitas
(Ejemplo: secuencia de cinco números enteros: 1, 2, 4, 6 y 8) e
infinitas (lo
números enteros, que en sí mismos pueden no tener fin X= {…. -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3, …}).
Aplica a todos aquellos elementos que se pueden contar de forma
separada; es decir, uno por uno, como son los números naturales los enteros. Es
por esto que estos elementos discretos no tienen cabida los decimales o
aproximaciones.
Proporciona
la base teórica para la ciencia y la tecnología de la computación, entre otras.
Funciones piso y techo
En matemáticas e informática, la función de suelo o piso es la función que toma como entrada un número real x, y da como resultado el mayor entero menor o igual que x, denotado ⌊x⌋ o floor(x). De manera similar, la función de techo asigna x al menor entero mayor o igual a x, denotado ⌈x⌉ o ceil (x) o ceiling(x)
Por ejemplo, ⌊2.4⌋ = 2, ⌊−2.4⌋ = −3, ⌈2.4⌉ = 3 y ⌈−2.4⌉ = −2.
Históricamente, floor(x) ha sido llamada E(x) o parte entera de x. Pero en los nuevos libros de matemáticas, la función parte entera de (x) se ha dividido en floor(x) y ceiling(x).
Floor(x) = ⌊x⌋ El dominio son los números reales. El rango será los enteros Z y la definimos así:
y = ⌊x⌋ = k, donde k es un entero y x estará en el intervalo k ≤ x < k+1 donde k y k+1 son dos enteros consecutivos.
⌊5,7⌋ = 5
⌈−5,7⌉ = -6
Ceiling)x) = ⌈x⌉ El dominio son los números reales. El rango será los enteros Z
y = ⌈x⌉ = k+1, donde k es un entero y x estará en el intervalo k < x ≤ k+1
⌈5,7⌉ = 6
⌈-5,7⌉ = -5
Existe también la función parte decimal de x o mantisa de x = {x}
m(x) = mantisa(x) ={x} = x - ⌊x⌋
El dominio de la función mantisa son todos los números reales, mientras que el rango es el intervalo (0, 1)
Veamos cómo son las gráficas de ⌊x⌋. ⌈x⌉
⌊x⌋.
Dominio, los reales
Rango,
los enteros Z
Grafico
1: Gráfica de floor(x)
Rango
de ⌈x⌉ = todos los enteros
Grafico
2: Gráfica de ceiling(x)
Propiedades básicas de ⌊x⌋ y ⌈x⌉ (floor y Ceiling)
⌊x⌋ + ⌊-x⌋ ; Si x= es entero, el resultado de esta operación es 0
Si x tiene parte
decimal ⌊x⌋. + ⌊-x⌋.= -1
ej ⌊2,1⌋. + ⌊-2,1⌋.= 2+(-3) = -1; el resultado es -1
⌈x⌉ + ⌈-x⌉ ; Si x es entero, el resultado es 0; Si x tiene parte decimal: ⌈3,4⌉. + ⌈-3,4⌉ = 4+(-3) = 1; el resultado es 1
3. ⌊⌊x⌋⌋ = ⌊x⌋
4.
⌈⌈x⌉⌉ = ⌈x⌉
5. ⌊⌈x⌉⌋ = ⌈x⌉
6. ⌈⌊x⌋⌉ = ⌊x⌋
⌊x + n⌋ = ⌊x ⌋ + n. x = 3,66; n = 6 x + n = 9,66 ⌊9,66⌋ = 9 ; ⌊3,66⌋ + 6 = 9
8.
⌈x + n⌉ = ⌈x⌉ +n; x=3,66; n= 6 x + n = 9,66 ⌈9,66⌉ =10 ; ⌈3,66⌉ + 6 = 10
Ejercicio 1
Resolver 2x + 3{x} = 12
{x} = x - ⌊x⌋
Reemplazando en la ecuación original:
2x + 3[x - ⌊x⌋ ] = 12 5x - 3⌊x⌋ – 12 = 0
k ≤ x < k + 1 k y k +1 son los dos enteros asociados a x
⌊x⌋ = k
La ecuación se nos convierte en 5x – 3k - 12 = 0 x = (3k + 12)/5
Llevemos este valor a la desigualdad que relaciona x y k
k ≤ (3k + 12)/5 < k + 1 Aquí hay dos desigualdades implícitas para k
k ≤ (3k + 12)/5 …………………5k ≤ 3k + 12 2k ≤ 12 k ≤ 6
La segunda desigualdad
(3k + 12) /5 < k + 1 3k + 12 < 5k + 5 7/2 < k
Es decir, k está en el intervalo (3,5, 6]; por tanto k = 4, 5, 6
x1 = (12 + 12) /5 = 24/5 = 4,8 y vemos 2x4,8 + 3x0,8 = 9,6 + 2,4 = 12
Los otros valores de x para k = 5 y 6
x2 = 5,4
x3
= 6 Estos valores x1, x2 y x3 son
la respuesta del ejercicio.
Ejercicio 2
4x2 - 40⌊x⌋ +51 = 0 (1)
k ≤ x < k + 1 k y k +1 son los dos enteros asociados a x
⌊x⌋ = k
k ≤ x Si en (1) reemplazamos la x por k y ⌊x⌋ por k, la igualdad no se conserva, , porque x2 ≥ k2 y queda la siguiente desigualdad (la solución se limita para x ≥ 0, ya que si la x; fuera negativa, la desigualdad quedaría x2 ≤ k2))
4k2 - 40k + 51 ≤ 0
Factorizamos esta expresión, que nos quede en racionales o enteros para evitar los decimales.
(2k - 3) (2k - 17) ≤ 0
(k – 3/2) (k – 17/2) ≤ 0 (k – 1,5)(k – 8,5)
Vemos que la recta real infinita queda divida en 3 sectores
En (-∞, 1,5] los dos factores son negativos, y el producto positivo. No cumple
En
(1,5, 8,5] un factor es positivo y el
otro negativo, luego el producto es – y cumple.
En
(8,5, ∞) ambos factores son positivos y el producto es positivo y no cumple.
Veamos la segunda desigualdad
Si en la ecuación (1) reemplazo x por k + 1 y ⌊x⌋ por k ya la nueva ecuación en k será > 0, ya que k + 1 > x
4(k + 1)2 – 40k + 51 >0 que se simplifica así:
4k2 – 32k + 55 > 0
La factorizamos en racionales.
(¿Qué
pasaría si en la factorización encontráramos dos raíces complejas? R La inecuación no tendría solución)
Concluiríamos que no hay solución en los reales. Y esa sería respuesta, pues siempre la solución será el conjunto intersección de los conjuntos que satisfacen
(2k – 5)(2k – 11) >0
(k
– 2,5)(k – 5,5) > 0
Vemos que la recta real infinita queda divida en 3 sectores
En (-∞, 2,5] los dos factores son negativos, y el producto positivo. Cumple
En (2,5, 5,5] un factor es positivo y el otro negativo,
luego el producto es – y no cumple.
En
(5,5, ∞) ambos factores son positivos y el producto es positivo y cumple.
Signo
de los factores en la recta Real, que definen signo del producto de los mismos.
La solución será:
(-∞, 2,5) ∩ [2,5, 8,5) ∩ [5,5, ∞) = [1,5, 2,5) ∪ (5,5, 8,5)
Los k que son solución, son los que están en la unión indicada. Ellos son 2, 6, 7, 8
Los x que cumplen son los que satisfacen la ecuación:
4x2 - 40k + 51 = 0 para valores de k: 2, 6, 7, 8
K = 2 x = √ (29) /2 = 2,692582403
K = 6 x = 3√ (21) /2 = 6,873863542
K = 7 x = √ (229) /2 = 7,566372975
K = 8 x = √ (269) /2 = 8,200609733
Llevando cualquier valor de x, entre los arriba encontrados, se cumple la ecuación (1)
Si se utilizan los
decimales el resultado será casi 0
Ejercicio 3
Por tanto, el
resultado es 20 – 10 = 10
Ejercicio 4
⌊x⌋ + 2⌈x⌉ - 4x = -4,8
Recordemos que k ≤ x < k+1 k y k+1 los enteros asociados con x
⌊x⌋ = k
⌈x⌉ = k + 1
Reemplazamos en el ejercicio
k +2(k+1) – 4x = -4.8 de donde x = (3k + 6,8) / 4
En la desigualdad general, reemplazamos el valor de x por el que acabamos de encontrar y así obtendremos dos desigualdades de k, que nos permitan encontrar el intervalo de k que funciona.
k ≤ (3k + 6,8) / 4 < k +1
Resolviendo la desigualdad del lado izquierdo obtenemos que el conjunto solución es
(-∞, 6,8]
Resolviendo la desigualdad del lado derecho obtenemos que el conjunto solución es (2,8, ∞)
La intersección de estos conjuntos es (2,8, 6,8], que es la solución para k, lo cual implica que k puede tener los valores 3, 4, 5, 6
|
k |
x |
|
3 |
3,95 |
|
4 |
4,70 |
|
5 |
5,45 |
|
6 |
6,20 |
Si reemplazamos los 4 valores obtenidos para x, y reemplazamos en la ecuación del ejercicio, vemos que esta se cumple.
Atentamente,
Juan Fernando Sanín E
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