Triangulo Órtico

Medellín, noviembre 2019

Triángulo órtico y circunferencia de los nueve puntos en un triángulo escaleno. (No obtusángulo)

Triángulo órtico

Teorema. Sea un triángulo general OAB, con ángulos internos <O, <A, <B. Las alturas trazadas desde los vértices son:

OH₂, AH₃, BH₁

El triángulo órtico es aquel que tiene como vértices H₁, H₂ y H₃, figura 1 a

La figura 1b, es igual a la 1a con algunos detalles.

Trazamos las circunferencias, una con diámetros OA que contiene, además, los puntos H₂ y H₃

Otra con diámetro OB, el cual contiene los puntos H₁ y H₂

Observemos los ángulos <k y y  <m

Vemos 2 ángulos <k que son subtendidos por el arco OH₃, de la circunferencia de diámetro OA

<k+<O=90 grados   Triangulo rectángulo ∆OH3A

<k+<x=90                Ángulos complementarios

De dónde <x=<O

Y por tanto ∆H₃BH₂ es semejante al triángulo ∆OAB (ver fig. 1b)

En la figura 1 c

Observamos 2 ángulos <p, que son iguales, porque son subtendidos por el arco BH₂, de la circunferencia cuyo diámetro es OB

<B+<p=90 grados    Triángulo rectángulo OH₂B

<x+<p=90                 Ángulos complementarios

De donde <x=<B

Y por tanto ∆H₁AH₂ es semejante al triángulo ∆OAB (ver fig 1c)

En la figura 1d

Observamos 2 ángulos r, que son iguales porque son subtendidos por el arco H₁A de la circunferencia cuyo diámetro es AB

<r+<A=90      Triángulo rectángulo BH₁A

<r+x=90         Ángulos complementarios

De donde se concluye que <x=<A

Y por tanto ∆OH₃H₁ es semejante al triángulo ∆OAB (ver fig 1d)

En resumidas cuentas, se da la semejanza de los siguientes triángulos

∆BH₃H₂                ∆H₂H₁A          ∆H₃H₁O y   ∆OAB y los ángulos correspondientes se indican en la figura 1d con diferentes colores.

Corolario.

Observemos en la figura 1d, los ángulos f y g

<f+<H₃H₁O=90

<g+<H₂H₁A=90

Se concluye, de analizar la figura (2), que f y g son iguales y por tanto la recta BH₁ es la bisectriz del ángulo órtico interno<H₃H₁H₂

Por tanto:

“Las alturas del triángulo ∆OAB, son las bisectrices del triángulo órtico”

Antes de continuar con la circunferencia de los 9 puntos, recordemos una propiedad importante que relaciona las mediatrices y las bisectrices en un triángulo general ABC.

Propiedad de bisectrices y mediatrices en un triángulo ABC:

“La mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersectan sobre la circunferencia circunscrita”

Fig 2

Considere el triángulo ABC y la circunferencia circunscrita. La mediatriz MF, del lado BC es un diámetro de la circunferencia circunscrita.

Arco CF = arco FB y por consiguiente los ángulos <CAF y <FAB son iguales

y la recta AF es la bisectriz interior del ángulo A.

El ángulo MAF=90 grados y por tanto es la bisectriz exterior del ángulo A.

Por lo anteriormente expuesto, se puede decir que:

”la mediatriz de un lado de un triángulo y las bisectrices del ángulo opuesto se intersectan sobre la circunferencia circunscrita”

La segunda propiedad del triángulo órtico es conocida como el circulo de los nueve puntos de un triángulo. (circulo de Karl Wilhem Fuerbach.)

Teorema. Sea OAB un triángulo general (no puede ser obtusángulo) y H₁, H₂ y H₃ los pies de las alturas trazadas desde B.

La circunferencia circunscrita al triángulo órtico pasa por los siguientes puntos relacionados con el triángulo OAB:

Puntos medios de los lados: M₁, M₂, M₃

Puntos H₁, H₂ y H₃, pies de las alturas trazadas desde B, O y A respectivamente.

Y puntos medios de cada segmento de las alturas, entre el vértice y el ortocentro.

Trazamos la mediatriz del lado H₁H₂. Las bisectrices interior y exterior del ángulo en H₃ se interceptan en M₃ y F, de esa mediatriz, que son los extremos de un diámetro de la circunferencia circunscrita.

(Teorema anterior)

Existe una circunferencia con diámetro OB que contiene, además, los puntos H₂ y H₁. H₂H₁ es una cuerda y la mediatriz de esa cuerda pasa por el centro de la esta circunferencia, por tanto, M₃ debe ser ese centro y además el punto medio de OB.

De modo semejante, los triángulos HH₂A y HH₁A son rectángulos que comparten la hipotenusa HA. Por lo tanto, los H, H₂, A, H₁ son parte de una circunferencia cuyo diámetro es HA. Comparten la cuerda H₂H₁ y por tanto la mediatriz de H₂H₁ pasa por el centro de la misma, lo cual nos indica que F es el punto medio del diámetro HA.

De igual modo, se demuestra que los puntos M y P son los puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. De forma análoga, se demuestra que los puntos D y H son puntos medios de los segmentos AI y CI respectivamente.

Hemos demostrado que la circunferencia circunscrita al triángulo órtico contiene los siguientes puntos: H₁, H₂ y H₃ y además, los puntos M₃ y F.

Haciendo la misma demostración para las mediatrices de H₃H₂ y H₁H₃, llegaríamos a la conclusión de que los puntos M₁, M₂, J e I también pertenecen a la circunferencia circunscrita al triángulo órtico, con lo cual se completarían los 9 puntos.

Juan Fernando Sanín E

Noviembre 2019                                 juanfernando.sanin@gmail.com