Jardín, junio 2025
Factorial i
Factorial i = i!
Recordemos la función Gamma de Euler, cuyo dominio es ∪ (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, +∞)
Nota. Al final del blog haremos
un breve repaso rápido de la función Gamma de Euler, para mostrar que el
concepto de factorial, se extiende de los reales positivos y a complejos
z = a + bi
con tal que a sea un real >=0 (Veremos que esta condición, que aparece en muchos papers, parece ser falsa.
Recordemos que x =e ln(x) (4)
Ahora aplicando la fórmula general para la función Gamma
De acuerdo con la (4) t = e Ln(t) t i = e ln(t)i (6)
Recordemos la formula general de los números complejos
e iθ = cos(θ) + i sen(θ)
e ln(t)i= cos(ln(t)) + isen(ln(t))
Reemplazamos (6) y (7) en la (5) e ln(t)i= cos(ln(t)) + i sen(ln(t))
Estas integrales son
supremamente difíciles. Creo que no hay un método, (al menos conocido), por
técnicas de integración, que permita resolverlas. Además, debemos recordar que
el límite inferior es un límite de t, cuando t tiende a 0+ y el superior es
cuando t crece tanto como queramos. Son integrales doblemente impropias.
Se pueden resolver por integración aproximada, pero para esto, es conveniente conocer las gráficas de las funciones f(t) = cos(ln(t)) et y g(t) = sen(ln(t)) et, lo cual también es difícil.
Veamos la primera:
f(t) = cos(ln(t)) et
|
t |
Cos(ln(t)) e^-t |
|
0,1 |
-0,60 |
|
0,2 |
-0,031 |
|
0,5 |
0,46 |
|
1,0 |
0,36 |
|
1,5 |
0,21 |
|
2,0 |
0,10 |
|
|
|
En p/2 la función es 0 y luego cada n p/2 n impar, vuelve a ser 0 y así hasta el infinito
La derivada de f(t) f’(t) = -e -t [cox(ln(t)) + sen(t(t)) /t]
En f'(t)= 0, obtendríamos los puntos de máxima y mínima, pero la ecuación no tiene solución, ya que, cada n p/2, n impar la función pasa de positivo a negativa y hay infinitos puntos críticos.
Derive nos da estas gráficas de f(t) y g(t)
Graficas de f(t) y g(t)
Que sea Derive el que nos
resuelva las integrales impropias de forma aproximada, mostradas en (8)
Por tanto
i! = 0,493595 - 0,160414i
Repaso general de la
función Gamma
Recordemos el dominio de Gamma, Todos
los Reales, excepto los enteros negativos y el 0 y todo complejo z =a + bi, con
tal que a>=0 (1*) Ver nota final
Hacemos la integración por
partes
u = t x-1 du = (x-1) t x-2 dt
dv = (e -t) dt v = - e -t
Recordemos que 0 significa: t tiende
a 0 e ∞ significa que t crece todo lo
que queramos.
En esas condiciones, la parte algebraica (sin integral) de (9) es un doble límite, más o menos complicado que resolviéndolo nos entrega el valor 0.
Γ (-3/2) = 2,363…….
Γ (1) = 0! = 1
Γ (3/2) = 0,886……..
Γ (5/2) = 1,329….
Γ (7/2) = 3,323….
Γ(i) = 0,493595 –
0,160414 i
Gráfica de la función
Gamma
Grafica de la función
Gamma de x
Factorial de números
complejos z = a +bi
Para que exista z! se requiere que:
Para cualquier dupla
(a, b), dibujar las gráficas de:
f(x) = e aln(t) [b(cos(ln(t)) e -t
g(x) = e aln(t) [b(sen(ln(t)) e -t
Sería bastante difícil, casi imposible, dibujarlas; habría que hacerlas calculando muchos puntos de cada una; incluso, muchos programas de maths podrían ser incapaces de dibujarlas.
Al final, la única condición que debe tener la dupla (a, b), para que exista (a+bi)! es que las dos integrales impropias de (12) sean convergentes.
En la literatura en la que he buscado dicen que la componente real a del número complejo, sea >=0 , pero sin ninguna justificación. Veremos con ejemplos que esto no es cierto.
Recordar que el blog es hacer el cálculo de 0 + 1i, con a = 0 y b = 1 y el factorial fue encontrado.
Veamos qué pasa con el complejo 1 + i con la fórmula (13)
Con lo cual queda
demostrado que la anotación teórica que, a>=0, es falsa.
Juan Fernando Sanín E
juanfernando.sanin@gmail.com
