Método de Poo Shen Loo para resolver ecuaciones de segundo grado - La Bruja de Agnessi

Medellín, julio 2024

Métodos de Po Shen Loh para resolver ecuaciones de segundo grado y La Bruja de Agnesi

Método de Po Shen Loh, para resolver ecuaciones de segundo grado

Resolver

x² + 6x + 8 = 0                                    (1)

Factorizamos:

(x + α) (x + β) = 0             x² + (α + β) x + α.β = 0

Dos números que sumados den 6 y multiplicados den 8 

 α + β = 6

 α.β = 8

Sin mucha dificultad, adivinamos que los números α y β son 2 y 4

(x + 2) (x + 4) = 0        lo cual ocurre tanto si x + 2 = 0    o    x + 4 = 0 y los valores de x que, resuelven 

la ecuación (1) son:

x₁ = -2                                              x₂ = -4

El problema es que en la mayoría de los casos α y β son muy difíciles de identificar o casi imposible, ya que podrían ser enteros, fraccionarios (racionales) o irracionales.

Veamos otro ejemplo

x² – 20x + 64 = 0                                           (2)

 (x + α) (x + β) = 0             x² + (α + β) x + α.β = 0                           (3)

 α + β = -20

Aquí ya no es tan fácil adivinar, de hecho, α + β <0 es negativo.

Si escogiéramos α = - 20/2        y        β = - 20/2        Se cumpliría la primera condición, pero no la 

segunda (el producto no da +64)

Pero si hacemos este truco

α = - 20/2 + u                                 (4)

β = - 20/2 – u                                 (5)      α + β = 20  y podemos forzar a que  α.β = 64

Recordemos que (a + b) (a – b) = a² – b²   y por tanto (- 20/2 + u) (- 20/2 + u) =

100 – u²           y   100 – u² = 64                                        u² = 100 – 64 = 36     y

u = 6                            (Podría ser  - 6, y el resultado no variaría para nada, pero escogemos el u > 0)

α = - 20/2 + 6 = - 4                                     (6)

β = - 20/2 – u = -16                                    (7)

Factoricemos

x² – 20x + 64 = (x + α) (x + β) = (x +(- 4)) (x +(-16)) = (x - 4) (x – 16) = 0

O sea, x₁ =  4                                                 x₂ = 16

Veamos un ejemplo más complicado

6x² – 13x + 6 = 0                                                               (8)

Para que se parezca a las anteriores, el coeficiente de x² debe ser igual a 1

Dividimos la ecuación por 6

x² – (13/6) x + 1 = 0         (x + α) (x + β) = 0          x² + (α + β) x + α.β = 0

y                                 α + β = -13/6           α.β = 1

α = -13/12 + u                              Si la ecuación es  x² + b x + c= 0,   α = b/2 + u       

 β = -13/12 – u                                                                                   β   = b/2 - u

 α.β = (13²/12² – u²) = 1            1 = 169/144 – u²

 u² = 169/144 – 1 = (169 – 144) / 144 = 25 / 144      y     u = 5/12;  Escogemos sólo el positivo.

α = -13/12 + 5/12 = -8 / 12 = -2/3

 β=-13/12 – 5/12 = -18 / 12 = -3 / 2

La factorización de (8) será:     (x + (-2/3))( x + (-3/2)) = 0       (x – 2/3) (x – 3/2) = 0

Lo cual sucede cuando:      x .- 2/3 = 0        o        x – 3/2 = 0        es decir

x₁ = 2/3                                                     x₂ = 3/2

Ecuación general de segundo grado

ax² + bx + c = 0

Fórmula general, deducida por el método de Po Shen Loh

Primero dividimos por a

x² + bx/a + c/a = 0                                                                                             (9)

α = b(2a) + u                                 (10)

β = b/(2a) – u                                 (11)      α + β = b/2  y podemos forzar a que  α.β = c/a

b²/4a² - u² = c/a             u² = b²/4a² -c/a = (b² – 4ac) /(4a²)

u= √( b² – 4ac) / 2a

Para que la ecuación tenga solución en los reales se necesita que          b² – 4ac>=0

Si b² – 4ac < 0          la ecuación no tendrá soluciones reales, pero si imaginarias.

Terminando el proceso, la fórmula general para la ecuación (9)

x = [- b ±√ (b² – 4ac)]/ (2a)

En La fórmula general de segundo grado        b² – 4ac     se llama discriminante

Ejercicios para resolver por el método de Po Shen Loh

3x² - 5x – 3 = 0                              R__ x = (5 ±√61) /6

2x² + 3x + 4 = 0                             R__ x = (-3 ± (√23) i) /4

23x² – 5x – 10 = 0                         R__ x = (5 ± 3√105) /46

 

La Bruja de Agnesi

Figura 1, curva de la bruja de Agnesi

La circunferencia es de radio a, centro en C(0, a/2), las rectas eje x y AD( que es el eje y), 

perpendiculares a un diámetro OA. Este diámetro lo hacemos coincidir con el eje y.

Trazamos la cuerda OE y la prolongamos hasta que corte la recta AD, en D.

Por D trazamos una perpendicular al eje x

Por E( trazamos una recta paralela al eje x, que corta la perpendicular anterior en P.

Cuál es el lugar geométrico de los puntos P(x, y), cuando el punto E(x₁, y) se mueve por toda 

la circunferencia.

Sea P(x, y)

La ecuación de la circunferencia de radio a/2 y centro en C (0, a/2)

x₁² + (y – a/2)² = a²/4                                                              (1)

x₁ para distinguirlo de la x del punto P(x, y)      recordar el punto E(x₁, y)

si m es la pendiente de la recta OD (Variable), en el triángulo EDP

m = (a – y) / (x – x₁)      despejamos            x₁ = x – (a – y) /m        x1 = y/m       (2)

ya que:        a = mx          (La y de la secante siempre es igual a “a”)

Reemplazamos (2) en la (1)

(y/m)² + (y - a/2)² = a²/4                                                          (3)

Pero a = mx                                             m = a/x      reemplazamos en (3)

(yx/a)² + y² – ay + a²/4 = a²/4          Ya tenemos una relación de x e y en el punto P y por 

tanto, tenemos el lugar geométrico. Simplifiquemos

y²x²/a² + y² – ay = 0

 yx² + a²y – a³ = 0

 y = a³/ (x² + a²)                                 (4)     Esta es La ecuación de la Bruja de Agnesi.

Vemos que para x = 0                              y = a

Cuando x →∞                y → 0⁺

Cuando x → -∞              y → 0⁺

La curva de la gráfica 1, representa la ecuación (4) y el lugar geométrico solicitado.

“María Agnesi (1718-1799), matemática italiana. Escribe uno de los primeros libros de cálculo diferencial e integral, un libro en dos volúmenes. Esta curva fue estudiada por Pierre de Fermat en 1630, Guido Grandi en 1703, y por María Gaetana Agnesi en 1748, a quien se le adjudica el nombre que lleva, debido a la mayor dedicación y estudio y la cual aparece como solución de un problema estudiado en su libro sobre Geometría. Ha sido mal llamada la curva de la bruja o de la hechicera, debido a una confusión de palabras: “versiera” que significa virar o girar con la palabra “avversiera” que tiene un significado de hechicera o bruja (o la esposa del diablo). Este error se le adjudica al profesor de la universidad de Cambridge, John Colson. Esta curva encuentra una de sus aplicaciones en el estudio de osciladores cerca de la resonancia, en Estadística, en el modelaje de herramientas estadísticas, de hecho es utilizada como modelo de distribución como “sustituto” del modelo de distribución normal, determinado por la curva de la campana, así como también en la distribución de Cauchy, y como en los modelos computarizados para estudiar los fenómenos del clima y condiciones atmosféricas, y hasta en el análisis de relieves topográficos.” Tomado de Google.

https://matematicasiesoja.wordpress.com/wp-content/uploads/2020/04/la-curva-de-agnesi.pdf

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com