Eje Radical de dos circunferencias O y O' de radios R y R'

Medellín abril 2024

 

Potencia de un punto P, respecto de una circunferencia coplanar con el punto P, cuyo centro es C y cuyo radio es r.

p = PA*PB 

Fig. 1 Definición de potencia de un punto respecto de una circunferencia.

 

Sea el punto P y la circunferencia roja de radio r y centro en C. La distancia PC = d.

De las propiedades de los arcos y cuerdas, sabemos que PF* PG = PA*PB = PT²

PT² (PT es la tangente trazada desde P a la circunferencia C.)

PT² = d² – r² = (d – r) (d + r);                 p= potencia = PT² = d² – r²

Corolario. El lugar geométrico de los puntos P del plano de C, que tienen igual potencia, respecto de la circunferencia original, es la circunferencia de radio d, con centro en el mismo centro C

Figura 2 Puntos P del plano, equipotentes, respecto de la circunferencia C; Potencia p = d² – r²

Propiedades de la mediana en un triángulo cualquiera, relacionadas con la potencia.

Fig. 3 Propiedades de la mediana que se relacionan con la potencia p.

Sea el triángulo ABC, de lados a, b y c, m la mediana trazada desde A, h la altura trazada desde A y n es el segmento MH. (M es el punto medio de BC).

Por Pitágoras b² = h² + (a/2 – n)² = (m² – n²) + (a²/4 – an + n²)

= m² + a²/4 – an                                                                                    (1)

Por Pitágoras c² = h² + (a/2 + n)² = (m² – n²) + (a²/4 + an + n²)

= m² + a²/4 + an                                                                                    (2)

Si encontramos c² – b²; (2) – (1), obtenemos 2an y despejando n

n = MH = (c² – b²) / (2a)                                                                         (3)

Teorema.

El lugar geométrico de los puntos M, de igual potencia, respecto de dos circunferencias O y O’, es una recta perpendicular a la línea de los centros.

En la figura 4, sea M un punto de igual potencia respecto a las dos circunferencias dadas, con centros en O y O’ y de radios R y R’ (Supongamos que R > R’)

p = MO² – R² = MO’² – R’²                                             (1)   definición de potencia.

MO² – MO’² = R² – R’²                                                    (2)

Si C está en la mitad de OO’ y H es la proyección perpendicular de M, de acuerdo con el teorema anterior, que hemos llamado propiedades de la mediana relacionadas con la potencia respecto de una circunferencia, sabemos que:

Figura 4 Eje radical de dos circunferencias cuyos centros están en O y O’

 

El lugar geométrico de los puntos M, cuya potencia a las dos circunferencias O y O’, de radios R y R’ sean iguales, estará sobre la recta MH y su prolongación. Esta recta se llama eje radical.

 

¿Cómo se construye el eje radical de dos circunferencias?

 

En primer lugar, debemos anotar, como corolario, que, si las dos circunferencias son secantes entre sí, los puntos comunes pertenecen al eje radical (en esos puntos la potencia a cada una de las circunferencias es 0); por lo tanto, basta trazar la recta que pasa por esos dos puntos (la secante) y ese es el eje radical. De paso, sabemos que, esa secante, es perpendicular a la línea que une los centros O y O’.

Como corolario, también debemos aceptar que, si dos circunferencias son tangentes exteriores, basta trazar la perpendicular a la línea de los centros, por ese punto de tangencia. (La tangente común es el eje radical)

Si las dos circunferencias O y O’ no son secantes, construimos una nueva circunferencia O” auxiliar, que sea secante de O y de O’.

El procedimiento se indica en la siguiente figura:

Figura 5. Centro radical y construcción del eje radical de dos circunferencias coplanares que no se intersecan.

La circunferencia O” es auxiliar y debe ser secante a O y O’.

El punto E, donde se interceptan las secantes AB y DC es el centro radical de las tres circunferencias.

Por tanto, ya tenemos un punto E del eje radical de O y O’ y trazando la perpendicular a la recta OO’ desde E, obtenemos el punto Q y QE forma parte de una recta infinita, que es el eje radical de O y O’.

Problema

Considere la siguiente figura:

Figura 6 Problema Reunión de Profesores

Tenemos dos circunferencias O y O’ de radios 2r y r. La distancia OO’ = 4r

1.    Hallar el valor, en función de r, de los siguientes valores O’C, CA, CA’, OG, AG, OG

2.    Trazar el eje radical de las dos circunferencias O y O’

3.    Encontrar el lugar geométrico de los puntos E, que son puntos medios de la distancia IC, de la secante IC

Triángulos OAC y O’A’C son semejantes, porque, siendo CA la tangente común desde C, tienen todos los ángulos iguales

OC/O’C = 2r/r = 2

OC = 2 O’C                                             OO’ + O’C = 2 O’C

Por lo que O’C = OO’ = 4r

CA² = (8r)² –(2r)² = 64r² – 4r² = 60r²                                CA = 2√15 r

Por la relación 2:1      C’A = √15 r

Triángulos OAG semejante a OAC, por la igualdad de todos sus ángulos interiores, por lo tanto,

2r/8r = OG/2r                                   OG =r/2

AG    por Pitágoras

AG² = 60r² – (8r – 1/2r)² = 15/4 r²             r = 1,94r

Para trazar el eje radical de O y O’ debemos recordar la fórmula de la figura (4)

CH = (R² – R’²) /(2*OO’)           C es el punto medio de la recta OO’ y H la posición del eje radical. (Vuelvan a mirar la figura (4))

Para nuestro problema, el punto medio de OO’ es F y (OF = FO’ = 4r)

FH = ((2r)² – r²) /(2*4r) = (3/8) r = 0,375r   Por la fórmula de la figura (4)

El punto F está determinado (sobre la circunferencia). El punto H lo obtenemos, sobre la recta OO’ a una distancia 0,375 r, desde F, hacia la derecha. (Gráficamente podemos determinar la distancia FH = 0,375 r, ahí les dejo ese problema y su solución)

La perpendicular trazada por H, a la recta OO’ , es el eje radical de las circunferencias O y O’

Para el lugar geométrico de los puntos E

Triángulos OIC semejante O’EC ya que:

Tienen un ángulo en común en C

OC = 2*O’C

2*IE = IC                          E es el punto medio de IC, están en relación 2:1

Lo anterior implica que, O’E = OI/2 = 2r/2 = r           Por lo tanto, el punto E debe estar sobre la circunferencia O’ de radio r.

El lugar geométrico solicitado es el arco de circunferencia, de la circunferencia O', a la derecha de los puntos de tangencia, de las tangentes comunes trazadas desde C a O y O’

Anexo.

Algunas propiedades de la circunferencia inscrita en un triángulo ABC

La circunferencia inscrita en un triángulo se construye así: se construyen las bisectrices de dos de los tres ángulos de ABC. Ese punto de concurrencia es el incentro. Desde allí, I, las distancias a los tres lados del triángulo valen r.

 

Figura 7. Incentro de un triángulo ABC

Las bisectrices interiores son: AF, BD y CE

El ángulo interior A= α

Para encontrar el radio de la circunferencia inscrita r basta aplicar la fórmula

At = r(2p) /2

Conocidos los tres lados del triángulo podemos saber el valor del área y el perímetro; para encontrar el área podemos aplicar la fórmula de Herón

At = √ (p (p - a) (p - b) (p - c))                    p = (AB + BC + CA)/2  semiperímetro

r = 2At/(2p)

Otra forma de encontrar At = AB*CH/2

Pero de esta última forma, hay que encontrar CH = h, lo cual lo hacemos con el teorema del coseno

BC² = AB² + CA² - 2* AB*CA* cos α

Conocidos los lados, despejamos cos α así encontramos α y con este valor encontramos CH = CA cos α

Circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de catetos a y b

Figura 8.          r= radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo de lados a, b y c

Ejemplo

Fig. 9 Radio del círculo inscrito en el triángulo rectángulo, cuyos catetos son:

a = 8.25 m

b = 4.47

La hipotenusa la calculamos por Pitágoras c = 9,39

At = r (a +b+ c) /2          a + b + c = 22.10

(ab)/2 = r*(a + b + c) /2               r = ab/ (a+ b + c) = (8.25*4.47) /22.10 = 1.67 m

Pregunta final:

¿Recuerda la diferencia entre circunferencia y círculo?

 

Atentamente,

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com