jueves, 7 de diciembre de 2023

Sistemas de numeración - bases de números

 

Medellín diciembre 2023

 

Sistemas de numeración

 

Cuando trabajamos las operaciones aritméticas, se hará en sistema decimal. Sin embargo, existen otros sistemas de numeración, y algunos forman parte también de las actividades cotidianas. Así, el sistema binario es básico en el funcionamiento de los ordenadores, y el sexagesimal se utiliza para medir los valores de los ángulos y el cómputo del tiempo de los relojes, entre otras tareas.

Un sistema de numeración puede definirse como un conjunto de signos, relaciones, convenios y normas destinados a expresar de modo gráfico y verbal el valor de los números y las cantidades numéricas.

 

·         La base del sistema, que se define como un convenio de agrupación de sus unidades. Por ejemplo, la base 10 o decimal agrupa diez unidades, mientras que, la binaria únicamente agrupa dos.

·         Los numerales del sistema, o cifras elementales que se utilizan, según la base. En el sistema decimal, se usan los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En cambio, en el sistema binario tan sólo se emplean el 0 y el 1.

 

 

En base 2, sólo hay dos dígitos: 0 y 1

Escribiremos en base 2 algunos números, que vamos a indicar en base 10

 

Base 10

Base 2

1

01

2

10

3

11

4

100

5

101

6

110

100

1100100

 

 

Base 10

Base 3

1

01

2

10

3

11

4

100

5

101

6

110

100

10201

 

La base 16, Hexadecimal tendrá16 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15

 

Decimal

binario

Ternario (b = 3)

Octal (b= 8)

Hexagecimal b = 16

0

0000

000

00

0

1

0001

001

01

1

2

0010

002

02

2

3

0011

010

03

3

4

0100

011

04

4

5

0101

012

05

5

6

0110

020

06

6

7

0111

021

07

7

8

1000

022

10

8

9

1001

100

11

9

10

1010

101

12

A

11

1011

102

13

B

12

1100

110

14

C

13

1101

111

15

D

14

1110

112120

16

E

15

1111

 

17

F

 

En este link, se pueden convertir, online, números entre diferentes bases:

 

https://www.convertworld.com/es/sistemas-de-numeracion/

 

1254510 a base 8 = 304018

13245 a base 8 = 3268

1010101010102 = 273010 La base10 no se suele escribir.

 

Algoritmos de conversión entre diferentes bases

 

Cualquier número en base 10, se puede escribir en forma de potencias de 10.

 

Ej 2365 = 2x103+3x102+6x101+5x100 = 2000+300+60+65 =2365

 

Un número en base octal, de igual manera, se puede escribir por medio de potencias de 8

 

34268 = 3x83+4x82+6x8+6             (1)          recordar que en este caso 10 = 8

Si supiéramos hacer estas operaciones, exponente, producto y suma en base 8, el resultado de la operación sería 34268

 

Lo interesante es que, si hacemos estas operaciones en base 10, obtenemos el número en base 10.

(Realmente no pude encontrar en la WEB un soporte serio que justifique este resultado, pero es universal en todos los libros de aritmética que consulté y aun en tesis de doctorado, e igual, dan el algoritmo, por cierto, sin prueba.)

 

Haciendo la operación de la expresión (1) en base 10 obtenemos:

3x512+4x64+2x8+6 =1536+256+16+6 =181410

 

Si utilizamos el convertidor vemos que 34268 = 181410

 

Otro ejemplo

 

12AF a base 10

 

1x163+2x162+Ax16+F

 

1x4096+2x256+10x16+15 = 4783

 

Utilizando este algoritmo de las potencias convertir:

 

101010101010102 a base 10

 

1343435 a base 10

 

83AF a base 10

 

Ahora, para convertir un número en base 10 en una base 10, el algoritmo universal, igual que el anterior de las potencias, sin una prueba real, excepto que funciona, es el de las divisiones sucesivas.

 

Ejemplo, convertir 65 a binaria.

 

Hacemos divisiones sucesivas

 

 

65 │2

  1 │32│2

        0 │16│2

      0 │8   2

            042

                 0 │2│2

                       01 


Comenzando con el último cociente <2 =1 y construyendo el número con ese inicio y todos los cocientes en orden ascendentes, obtenemos el número en base 2

 

6510 =65 = 10000012

 

Vamos a convertir 65 a base 3

 

65 │3

  2 │21│3

        0 │7│3

    12

 

El número será 21023 = 65

Ejemplo

Para convertir el número 13,312510 a base 2, en primer lugar, hay que dividir, sucesivamente, la parte entera del número, en este caso (1310), entre 2, hasta obtener un cociente más pequeño que 2.



Figura 1 Convertir 13 base 10 a base 3

Como el último cociente (a3), que vale (1), ya es más pequeño que el divisor (2), hay que parar de dividir. Por tanto,

1310 = 11012

El segundo paso consiste en convertir la parte fraccionaria del número (0,312510). Para ello, se deben realizar los siguientes cálculos:



Figura 2 Algoritmo para la conversion de la parte decimal de un número en base 10

La parte fraccionaria desaparece después de realizar cuatro multiplicaciones. Así pues, 0,312510 = 0,01012

En resumen,

13,312510 = 1101,01012

Convertir 75658 a base 8

Con el algoritmo de la división por 8, obtenemos este número en base 8

La siguiente tabla puede ayudar:

 

Número en base 10

Cociente entero

Residuo < 8

Divisor

75658

 

 

8

 

9457

2

8

 

1182

1

8

 

147

6

8

 

18

3

8

 

2

2

8

Dividimos el número en base 10 por 8, obtenemos un cociente de 9457 y un residuo menor que 8 = 2.

Dividimos el número 9457 (cociente entero anterior) por 8 y obtenemos un cociente entero de 1182 y un residuo menor que 8 = 1.

Dividimos el número 1182 (cociente entero anterior) por 8 y obtenemos un cociente entero de 147 y un residuo menor que 8 = 6.

Dividimos el número 147 (cociente entero anterior) por 8 y obtenemos un cociente entero de 18 y un residuo menor que 8 = 3.

Dividimos el número 18 (cociente entero anterior) por 8 y obtenemos un cociente entero de 2<8 y el nuevo residuo no importa.

El número en base 8 será 223612

Se forma con el cociente < 8 y los residuos hacia atrás en orden ascendente.

Conversión de números en base a números en base b a#b   y ambos enteros positivos

Aunque hay algoritmos que permiten hacer este proceso en un solo paso, ello implica que sepamos realizar las operaciones básicas y exponenciales en bases diferentes a 10.

Lo ideal es llevar el Na, al mismo número en base 10, M10 y luego llevar el número M al número Kb

Ejemplo.

Convertir el número

231234 a base 8

Por el método de descomponer el número en sus exponentes, llevamos el número en base 10

2x44+3x43+1x42+2x4+3 = 73310 = 731            operaciones hechas en base 10

Por divisiones por 8 y como se indicó anteriormente, el 731 se convierte en 13338 

Ejercicios

 Convertir

13567 a base 9                                                 R 10238

567438 a base 2                              R .1011101111002

33004 a base 8                                                   R 3608

Este blog me deja una preocupación, porque no encontré ni pruebas, ni siquiera justificaciones, de que los algoritmos funcionan universalmente.


Numeración romana:

Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas, a las que se ha asignado un valor numérico.

Este tipo de numeración debe utilizarse lo menos posible, sobre todo por las dificultades de lectura y escritura que presenta.

Se usa principalmente:

  • En los números de capítulos y tomos de una obra.
  • En los actos y escenas de una obra de teatro.
  • En los nombres de papas, reyes y emperadores.
  • En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes...

I = 1

V = 5

X =10

L = 50

C = 100

D = 500

M = 1000

Ejemplos XVI = 16; LXVI = &&

Si a la derecha de una cifra romana de escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.

Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67

La cifra "I" colocada delante de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.

Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900

En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. En la antigüedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas.

Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34

La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado.

Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000

Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.

Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129

El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.



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Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com




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