Integral de la función x^x, entre x=0 y x=1

 

Medellín, julio 2023

 

 Resolver la integral:

Para n igual a 0 nos da una interminación en el numerador 0*ln0, que realmente es limite cuando x tiende a o⁺ de xlnx, que sabemos que es 0 (Lo demostraremos al final)

Hagamos un nuevo cambio de variable en la ecuación (4a)

V = (n+1)u                  (5)

u =V/(n+1)                                                    du = dv/(n+1)

Cambiamos V=(n+1)u            u = V/(n+1)        y          du = dV/(n+1)

Desarrollemos esta serie, para los diferentes valores de n

 

1 – 1/2² +1/3³ – 1/4⁴ + 1/5⁵ -……….

 

Esta serie es alternada, el término general tiende a 0 cuando n tiende a ∞

 y siempre el u_n+1 < u_n       y por tanto la serie es convergente.

En Excel calculemos la suma para n=10 y n= 11

S10 = 0,78343051071224

S11 = 0,78343051071213

Solo hay una pequeña diferencia en la posición 12 decimal

Si hacemos el ejercicio en DERIVE el resultado es 0.7834305114

 Juan Fernando Sanin Echeverri

juanfernando.sanin@gmail.com