Medellín, marzo 2021
Sea la ecuación de segundo orden:
a2y’’ + a1y’ + aoy =f(x) (1) No homogénea
Y la siguiente la homogénea asociada:
a2y’’ + a1y’ + aoy = 0 (2) Homogénea
Nótese que la única diferencia entre la no homogénea y la homogénea asociada es que en esta última f(x) =0
Si y1 y y2 son soluciones particulares de la homogénea (2)
C1y1 +1 C2y2 es la solución general de la ecuación (2)
La expresión C1y1 +1 C2y2, donde C1 y C2 son constantes arbitrarias, se llama combinación lineal de las funciones y1 y y2. Por tanto, la expresión C1x + C2 es una combinación lineal de las funciones y1 y y2, siempre y cuando y1 y y2 sean funciones independientes entre si.
Ejemplo: sean:
y1 = x y y2 = 1. Son funciones linealmente independientes.
En seguida explicamos la dependencia lineal y la independencia lineal de las funciones.
Se dice que dos funciones son linealmente dependientes en un intervalo x1 < x < x2, si una función es un múltiplo constante de la otra, para todos los valores de x en ese intervalo. En caso contrario, se dice que son linealmente independientes.
La independencia lineal unciones y1 y y2, también puede expresarse más formalmente como:
Dos funciones y1 y y2 son linealmente independientes, en un intervalo x1 < x< x2, si la ecuación:
C1y1 + C2y2 = 0 se
satisface para todas las x en ese intervalo, solo cuando C1 =
C2 = 0.
Si es posible satisfacer esta ecuación para todas las x, cuando uno de los coeficientes C1 o C2 (o ambos) son diferentes de cero, entonces ambas funciones son linealmente dependientes en el intervalo.
Ejemplo 1
Funciones linealmente independientes
Determinar si los siguientes pares de funciones son linealmente dependientes o independientes para -∞ < x <∞.
a) y1= 6x, y2=2
y1/y2 = 3x no es una constante para toda x
b) y1 =senx, y2 = cosx
y1/y2 = tanx no es una constante para todo x
c) y1= ex, y2= e-x
y1/y2 = ex/e -x =e 2x No es una constante para todo x
Independencia lineal de n funciones
Con frecuencia, el estudio de las ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior, se exige la determinación de la independencia lineal de tres o más funciones. Por tanto, extendemos esta explicación a un conjunto de n funciones.
Primero
definimos la combinación lineal de n funciones y1, y2, . .
. , yn como
C1y1 + C2y2 + …………+ Cnyn
donde C1, C2, . . ., Cn son constantes arbitrarias. La independencia lineal de n funciones se define así:
Las n funciones y1, y2, . . ., yn son linealmente independientes, en un intervalo x1 < x < x2, si la ecuación:
C1y1+C2y2 + +Cnyn = 0
se satisface para todas las x en ese intervalo sólo cuando C1 = C2 = Cn = 0
De no ser así, se dice que estas n funciones son linealmente dependientes en ese intervalo.”
Aunque el enunciado que sigue tiene una demostración formal, aceptamos que una ED de primer orden tiene sólo una solución y una de 2º orden tiene dos soluciones independientes y1 y y2, una de tercer orden tiene tres: y1, y2 y y3 y así sucesivamente.
Para resolver una ecuación diferencial no homogénea, de segundo orden, lineal, los pasos son:
1. Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada. Si es de segundo orden hay dos soluciones independientes, que se combinan linealmente y que llamaremos yh.
2. Luego resolvemos la ecuación no homogénea, a la cual le buscaremos una solución particular yp.
La solución general de la ecuación homogénea y será igual a y= yh + yp
MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS
La primera de las dos formas que se considera, para obtener una solución particular yp de una ED lineal no homogénea se llama método de coeficientes indeterminados.
El método general se limita a ED lineales como (1) donde:
los coeficientes ai,
i: 0, 1, 2 son constantes y que además, f(x)
sea de la forma que se establece en la tabla (1)
NOTA Estrictamente hablando, f(x) = k (constante) es una función polinomial de grado 0.
En el blog anterior, la f(x) era de carácter general. Ahora la vamos a limitar a:
· Polinomio de grado n P(n) (normalmente de grados 0 a 2)
·
sen (ax)
·
cos (ax)
·
eᶺ(ax)
Tabla de funciones f(x) que permiten el método de los coeficientes indeterminados.
Tabla (1)
Con algunos ejemplos aclararemos lo de la solución particular, cuando f(x) es una función de las que aparece en la tabla (1), a la cual se reduce el contenido de esta entrada del blog.
Ejemplo 2
Resolver la ecuación diferencial
y’’ + y’ -2y = x2 (3) La homogénea asociada es y’’ + y’ -2y = 0 (4)
Una solución para la homogénea es y1 = emx, reemplazando en la (4)
mmemx + memx – 2emx = 0 m2emx + memx – 2emx = 0
m2 + m – 2 = 0
Esta ecuación está asociada a la homogénea y se ve claramente que es la misma (4), donde hemos reemplazado y’’ por m2, y’ por m e y por 1.
Factorizando esta
ecuación la transformamos en (m + 2) (m - 1) = 0
m = -2 y m = 1
Las funciones y1
y y2 son: y1 = e -2x y y2 = ex
Satisfacen c/u la ecuación (4) y siendo linealmente independientes, la solución yh (y homogénea), es yh = C1e -2x + C2ex (5)
Podemos encontrar yh’’, yh’ e y, y luego reemplazar en (4) y verificamos que ecuación (5) es una solución de tipo general, que satisface la ecuación (4)
Para resolver la
ED (3), falta encontrar la solución particular. De acuerdo con la tabla (1) la
solución yp= Ax2 + Bx + C.
yp’ = 2Ax + B
yp’’ = 2A
Reemplazando en la ecuación (3)
2A+ 2Ax + B – 2Ax2 – 2Bx - 2C = x2
Coeficiente en x2 -2A = 1 A = -1/2
Coeficiente en
x 2A
– 2B =0, A = B = -1/2
Término
independiente 2A + B – 2C =0
-1-1/2 = 2C; C =
-3/4
yp = -(1/2) x2 –(1/2) x -3/4
La solución general será y = yh + yp
y = C1e-2x + C2ex -(1/2) x2 –(1/2) x -3/4
Ejemplo 3
Resolver la ecuación diferencial
y’’ + y’ -2y = x + ex (6) La homogénea asociada es y’’ + y’ -2y = 0 (4) es la misma del ejemplo 2
La solución ala homogénea es yh = C1e -2x + C2ex
La yp será yp = Ax + B + Cex, de acuerdo con la tabla (1)
yp’=A + Cex
yp’’ =Cex
Reemplazando en (6) Cex + A + Cex + Ax + B + Cex = x + ex
Igualando coeficientes a ambos lados de la anterior ecuación:
A = 1 igualando coeficiente en x
A + B = 0 B = -1 igualando término independiente
3C =1 C = 1/3 igualando coeficiente de ex
yp = x – 1 +(1/3) ex y = C1e -2x + C2ex + x – 1 +(1/3) ex
y = C1e -2x + (C2 + 1/3) ex + x – 1 = C1e -2x + C2 ex + x – 1
Ya que C2+ 1/3 sigue siendo otra constante arbitraria C2, diferente de la anterior C2
Ejemplo 4
Resolver la ecuación diferencial
y’’ + y’ -2y = x e2x (7) La homogénea asociada es y’’ + y’ -2y = 0 (4) es la misma del ejemplo 2
La solución homogénea sigue siendo yh = C1e -2x + C2ex
Para la solución particular, utilizamos la tabla (1) yp = (Ax+ B) e2x
yp’ = 2Axe2x + e2x (2B + A)
yp’’ = 4Axe2x + 4e2x (A + B)
Reemplazando en la ecuación (7)
4Axe2x + 4e2x (A + B) + 2Axe2x + e2x (2B + A) - 2(Ax+ B) e2x = xe2x
4Axe2x + (4A + 4B + 2B + A – 2B) e2x = xe2x
4A = 1 A = 1/4 igualando coeficiente de xe2x
4A + 4B + A = 0 Igualando coeficiente de e2x
5A = -4B B =-(5/4)A
B = -5/16
yp = ((1/4)x – 5/16) e2x
y = yh + yp
Ejemplo 5
Resolver la ecuación diferencial
y’’ -4 y’ + 4y = x + sen 3x (0) (8)
La homogénea asociada es y’’ - 4 y’ + 4y = 0 (9)
La ecuación asociada para encontrar la solución homogénea es:
m2 – 4m + 4 = 0 (m - 2)2 = 0 m = 2
Una ecuación diferencial de segundo orden tiene dos soluciones independientes, pero aquí sólo encontramos una y1 = C1e2x
Se puede verificar en la ecuación, que y2
= C2xe2x también cumple la ecuación (9). Basta encontrar
y2’ y y2’’ y reemplazar en la (9).
La solución yh = C1e2x + C2xe2x
Resolvamos la solución particular.
yp = Ax + B + Csen (3x) + Dcos (3x) según tabla (1)
yp’ = A +3Ccos(3x )– 3Dsen(3x)
yp’’ = -9Csen(3x) – 9D cos(3x)
Reemplazando en la (8)
= -9Csen(3x) – 9D cos(3x) -4[A +3Ccos(3x) – 3Dsen(3x)] + 4[Ax + B + Csen(3x) + Dcos(3x)] = x + sen 3x
=4Ax -4A +4B +sen(3x) [-9C + 12D +4C] + cos 3x [-9D – 12C+4D] = x + sen(3x)
consiguiente, A = 1/4
-4A + 4B =0 Término independiente A = B B =1/4
-5C + 12D = 1 Coeficiente de sen(3x)
– 12C -5D = 0 Coeficiente de cos(3x)
De estas 2 últimas ecuaciones despejamos D
D = -(12/5) C
Por consiguiente:
-5C - 12(12/5) C =1 -25C – 144C = 5 C = -5/169
D=-(12/5) (-5/169) = 12/169
yp = (1/4) x + 1/4) + (-5/169) sen 3x + (12/169) cos 3x
y = yh + yp
La solución general será:
y = C1e2x + C2xe2x + (1/4)x + 1/4) + (-5/169) sen 3x + (12/169)cos 3x
Juan Fernando Sanín
E
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