Julio
2020
Paradoja
de la serie armónica
La
serie armónica 1+1/2+1/3+1/4+1/5+………..+1/n+….. (1) es divergente. Esto
significa que cuando n→∞, la suma también →∞.
(En
las series infinitas convergentes cuando n→∞, la suma → a un número real. Por
ejemplo, la serie
1+1/22+1/32+1/42+1/52+………..+1/ n2+….. cuando →∞ La suma tiende a →π2/6 (Problema de Basilea))
Supongamos
que a la serie armónica le quitemos todos los términos en los cuales haya un 5
en el denominador, por ejemplo, le quitamos 1/5, 1/15, 1/50, 1/153,1/1056,
(cualquier termino que contenga un 5, sin importar que sea múltiplo de 5 o no)
La
nueva serie la vamos a dividir en infinitas series finitas, que no tengan 5 en
el denominador.
S1=1+1/2+1/3+1/4
+1/ 6+1 /7+1/8+1/9 (2)
denominador
de un dígito sin algún 5
S2=1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/16+……+1/99 (3)
denominadores de 2 dígitos que no contengan el número 5 (1/53 no está en la serie)
S3=1/100+1/101+1/102+……………+1/999
(4)
denominadores de 3 dígitos que no contienen el número 5, (1/105, 1/250, 1/503…etc. no pertenecen a S3.)
Analicemos
cada una de estas series:
S1
tiene 8 términos y no hay duda que S1<8x1 (5)
S2,
el denominador tiene dos dígitos, el primero de ellos puede ser ocupado por 8
dígitos (no puede ser ocupado por el 0, porque nos mandaría para S1 y no puede
ser ocupado por el 5), el segundo dígito puede ser ocupado por cualquier
natural entre 0 y 9, exceptuando el 5, es decir. En total la serie a la que le excluimos el 5 tiene 8x9=72 términos.
Además
S2<72/10=8x
(9/10)1 (6)
72
veces el primer término 1/10, que es el mayor
S3,
el denominador tiene 3 dígitos, el primero de ellos puede ser ocupado por 8
dígitos (no puede ser ocupado por el 0, porque nos mandaría para S2 y no puede
ser ocupado por el 5), el segundo dígito puede ser ocupado por cualquier
natural entre 0 y 9, exceptuando el 5, el tercer dígito puede ser ocupado por
cualquier número entre el 0 y el 9, exceptuando el 5 . En total la serie S3, a la que excluimos los
términos cuyo denominador contenga un 5, tiene 8x9x9 términos.
S3<(1/100)8x9x9 8x9x9 veces el primer término 1/100
que es el mayor, Ya comienza a tener forma. Organicemos este resultado:
S3<8x(9/10)2
S4 la parte de la serie armónica cuyo denominador tiene 4 cifras, que no contienen el número 5. De la ecuación (7) intuimos que:
S4<8x(9/10)3
Y
Sn<8x(9/10)(n-1)
(8)
La desigualdad de S1 la podemos reescribir como S1<8x(9/10)0
S1+S2+S3+S4+ ........ +Sn+……………. Es la serie armónica, a
la que le hemos quitado todos los términos en cuyo denominador haya un número 5
S1+S2+S3+
Sn+ …..
<8x(9/10)0+8x(9/10)1+8x
(9/10)2+…+8x(9/10)(n-1 )+8x(9/10)n+…. .(9)
La
parte final de la ecuación (9) es una serie geométrica cuyo valor de a=8 y
r=9/10 y como r<1, la serie es convergente y converge a
S=a/(1-r)
=8x1/ (1-9/10) = 80
Y
por tanto la serie infinita
S1+S2+S3+
……. +Sn+ …. <80
Juan Fernando Sanin E
juanfernando.sanin@gmail.com
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