La recta de Euler en un triángulo, por geometría analítica

Medellín, noviembre de 2019

La recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo es una recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro del mismo.

Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.

Este teorema ya se había demostrado en blog, enla entrada de diciembre 13 del 2013, utilizando sólo geometría Euclidiana.


Come mencioné antes, esta demostración normalmente, se hace por geometría Euclidiana, aprovechando las propiedades de las alturas, medianas y mediatrices y con la ayuda de triángulos semejantes. Hoy la haremos por geometría analítica, para un triángulo cualquiera, cuyos vértices son O(0, 0), A(a ,0) y B(b ,c).

No vamos a trazar sino dos alturas (OH2 y BH1), porque sabemos que la tercera, trazada desde A pasa por H (ortocentro)

Igualmente, dos medianas OM2 y BM1, porque la tercera pasa por G o baricentro.

Igualmente, dos mediatrices M2C y M1C, porque la tercera pasa por C.

La tesis del teorema es que los puntos H, G y C están alineados.

Encontremos las coordenadas (x, y) del ortocentro.

Ecuación de la recta BH1

X=b      (1)

Ecuación de la altura OH2.

Pendiente de AB , mAB=c/(b –a)

Pendiente de OH2       mOH2= - (b – a) /c

La ecuación de OH2 es

Y= -((b – a) /c) x                                    (2)

La x de H es b                                       (3)

Y para encontrar la y de H, reemplazamos en (2) la x por su valor b

Y=- (b – a) b/c

H (b, (b/c) (a – b)                                   (4)

Encontremos ahora las cordenadas (x, y) de G, el baricentro

Sabemos que las medianas están a dos partes del vértice y a una de la base.

Nos ayudamos con esta propiedad y con los triángulos semejantes BH1M1 Y BTG

Como la proporción es de entre los triángulos es de 3 a 2

BT = (2/3)c      y

TH = c/3

La y del baricentro es c/3

Ahora nos ayudamos con los triángulos semejantes OM2S y OGW, que se encuentran en la relación de 3 a 2, por tanto OW = (2/3)OS = (2/3)(a + b)/2 = (a + b)/3

Por tanto, las coordenadas del baricentro son

G ((a + b) /3, c/3)                                        (5)

Encontremos ahora las coordenadas del circuncentro C.

Observemos que C es la intersección de la recta M1C o x=a/2 y la recta CM2.

De la recta CM2 conocemos la pendiente (la misma de OH2), que ya se encontró, o sea

mCM2=- (b - a) /c

Y conocemos un punto de esa recta M2((a + b) /2, c/2)               (6)

La ecuación de la recta CM2, es la ecuación del punto y la pendiente.

Y= c/2+((a – b) /c) (x - (a + b) /2)          (7)

Para C,  x=a/2

Y=c/2+((a – b) /c) (-b/2) =(c²-ab + b²) /(2c)

Las coordenadas de C (a/2, (c² – ab + b²) /(2c))………………..8

Ahora lo que tenemos que chequear es que la pendiente de HG y GC sean iguales

mHG=(c/3-(b/c)(a – b))/((a + b)/3 –b)

Simplificando

mHG=(c²-3ba+3b²) / ((c (a – 2b))                                    (9)

mGC=((c²-ab+b²)/(2c) – c/3)/ (a/2 - (a + b)/3)

Simplificando

mGC=((c²-3ba+3b²) / ((c (a – 2b))                                    (10)

Con lo cual queda demostrado el teorema, ya que si las rectas HG y GC tienen la misma dirección y tienen un punto en común, por tanto, obligatoriamente, se trata de una sola recta.

Juan Fernando Sanín E