Medellín, Enero 2012
SERIES DE POTENCIAS
Nota 4 sobre el tema Series Infinitas
Cuando iniciamos este ciclo de estudio de las series infinitas, dije atrevidamente, que su descubrimiento ha aportado tanto a la formación de la civilización, como el invento de la rueda o el descubrimiento de la palanca.
La infraestructura de la civilización ha sido construida sobre la base de las funciones trascendentes: trigonométricas, hiperbólicas, logarítmicas y exponenciales. La trigonometría nos brinda algunas opciones para calcular las funciones trigonométricas de algunos ángulos importantes, pero no de todos y son precisamente esos, los que se necesitan, sobre los cuales el álgebra, la geometría y la trigonometría no nos dan opciones.
Una serie de potencias es una expresión de la forma siguiente:
Σf(n) xn de n= 0 a n = ∞
Miremos la serie de potencias
Σx n/n! de n = 0 a n = ∞
Supongamos que es convergente para algunos valores de x
f(x) = 1+x+x2/2!+x3/3!+………..+xn/n!+…… ........................................................(1)
Derivemos ambos lados
f’(x) = 1+x+x2/2!+x3/3!+………..+xn/n!+……
Como vemos, f(x) = f’(x) y sabemos que hay una función que cumple esta relación:
La función ex
Por tanto, si la serie (1) representara a la función f(x) = ex para algún intervalo real de x, pudiéramos pensar en calcular la función ex con base en la serie (1).
Evidentemente, jamás podríamos obtener un valor exacto de ex para algún x, pero si hacemos la suma parcial Sn, podríamos estar consiguiendo un valor aproximado de la función, un valor tan aproximado como queramos y sobre todo, útil para la ciencia física e ingeniería.
Notación:
Σf(n)xn de n= 0 a n = ∞ lo escribiremos simplemente Σf(n)xn
(Lo anterior por la dificultad que tiene el blogger para introducirle el editor de ecuaciones)
Ejemplo 1
Consideremos la serie siguiente e investiguemos para que valores reales de x, la serie es convergente.
Σxn/(2+n2)
Aplicamos el criterio de la razón
|x n+1/(2+(n+1)2)/xn/(2+n2)| =|x(2/n2 +1) /(3/n2 +1 + 2/n)|
Llevando esta expresión al límite cuando n tienda a ∞ obtenemos que este límite es:
|x|
La serie será convergente cuando |x|<1 o sea en el intervalo (-1, 1), más aún, en este intervalo la serie es absolutamente convergente.
Que pasa cuando x= 1 y cuando x = -1?
Cuando x= 1 la serie se convierte en Σ1/(2+n2) que es una serie convergente.
Cuando x = -1 la serie se convierte en Σ(-1)n/(2+n2), que también es convergente.
(Ver criterios de convergencia de series de términos positivos (comparación con la serie p= 2) y de las series alternantes.
Por tanto el intervalo de convergencia de esta serie es [-1, 1]
Que significa esto?
Esto significa que la serie Σxn/(2+n2) es una función de x, cuyo dominio es el intervalo [-1, 1]
Si llamamos esta función f(x), podríamos calcular el valor de esta función para x= 0.5 con la precisión que queramos. A más términos, mejor la precisión.
Evidentemente, es un contrasentido hallar el valor de la función f(5), ya que 5 no pertenece al intervalo de convergencia.
Si f(x) = Σf(n)xn es convergente en el intervalo [-r, r] (Llamaremos r radio de convergencia de la serie.
Podemos derivar ambos lados de función y obtendríamos una función f’(x), cuyo radio de convergencia también será r y el intervalo de convergencia (-r, r)
Ejemplo 2
f(x) = Σxn/(2+n2)
f’(x) = Σnx n-1/(2+n2) Cuyo radio de convergencia será r = 1
Igualmente, podríamos pensar en integrar f(x) = Σxn/(2+n2)
Así
∫f(t)dt entre t= 0 y t = x por medio de integrar ∫ Σtn/(2+n2)dt en los mismos límites
Obtendríamos:
F(x) = Σx n+1/(n+1) (2+n2)
Cuyo radio de convergencia también será 1
Ejemplo 3
Hallar el radio de convergencia de la serie:
Σn!xn/nn
Aplicamos el criterio de la razón:
|(n+1)!xn+1 nn/ ((n+1) (n+1) n! xn)
|(n+1)nn x/(n+1)(n+1)n| = |x/(1+1/n)n|
Llevando esta expresión al límite cuando n tienda a ∞ obtenemos que el límite es:
|x|/e
Ahora
|x|/e<1, que equivale al intervalo de x: (-e, e)
r=e; la serie es absolutamente convergente en (-e, e)
La investigación acerca de que sucede en los extremos es difícil.
SERIE BINOMIAL
(1+x)m =1 + Σ(m(m-1)(m-2)…..(m-n+1) xn / n! entre n = 1 y n = ∞ .........................(2)
Si m es un entero positivo, la expresión (2) es el binomio de Newton, que tiene n + 1 sumandos.
Si n es diferente a un entero positivo, entonces el desarrollo (2) tiene infinitos sumandos y se trata de una serie de potencias (infinita).
Para este último caso, investiguemos el intervalo de convergencia:
Aplicamos el criterio de la razón
| (m(m-1) (m-2)….(m-n+1)(m-n)xn+1/(n+1)!) / ((m(m-1)(m-2)….(m-n+1)xn)/n!))|
= |(m-n)x/(n+1)|
Llevando la última expresión al límite cuando n tiende a ∞, obtenemos que este límite es igual a |x|
La serie será absolutamente convergente cuando |x|<1 o sea en el intervalo (-1, 1)
Radio de convergencia r= 1
Los extremos se investigarán para cada caso en particular.
Veamos algunos casos particulares de la serie binomial:
(1+x) -1 = 1+ (-1) x+ (-1) (-2) x2/2! + (-1) (-2) (-3) x3/3! + (-1) (-2) (-3) (-4)x4/4!+……
1/(1+x) = 1- x + x2 – x3 + x4 – x5+ + (-1)n xn +…. .....................................................(3)
Cambiando x por –x
1/(1-x) = 1+ x +x2 +x3+x4 +x5+ + xn +…. .......................... ........................................(4)
En (3) podemos cambiar x por x2 y obtendremos:
1/(1+x2) = 1- x2 +x4 –x6+x8 –x10+ + (-1)nx2n +…. ....................................................(5)
1/(1+x2) = 1- x1*2 +x2x2 –x3*2+x4*2 –x5*2+ + (-1)n xn*2 +…. ....................................(5)
Si integramos ∫1/(1+t2)dt entre t=0 y t=x obtenemos la función tan-1x
tan-1 x = x – x3/3 + x5/5 – x7/7 + + (-1)n x 2n+1/(2n +1) +……. ...............................(6)
Las series que hemos representado por las expresiones (3), (4), (5) y (6) tienen como intervalo de convergencia (-1, 1)
En el caso de la serie (6), si el dominio es entre (-1, 1), podríamos obtener ángulos en radianes, cuya tangente está entre -1 y 1, es decir ángulos entre –π/4 y π/4.
Cálculo de π
Observemos que la serie (6) nos permite encontrar π/4
Supongamos que utilizamos el Polinomio P100 (100 términos para determinar π/4)
P100= 0,78289823 = π/4
Despejando π
π = 3,1315929 (Muy mala la precisión del cálculo)
La serie (6) no es la adecuada para calcular π, porque converge muy despacio.
Veamos otra forma de calcular π:
Si
a= tan-1 (1/2) y b= tan-1 (1/3)
tan(a + b) = (tan a + tan b)/ (1 – tan a tan b) = ((1/2 + 1/3))/(1-1/6) = 1
Por tanto
a + b = π/4
π/4 = tan-1 (1/2) + tan -1 (1/3)
Calculemos tan -1 (1/2) = 1- (1/2)2 /3 + (1/2)4/5 + (1/2)6/7+…… con P7
P7 = 0.463648
Ahora calculemos tan -1 (1/3), también con P7
P7 = 1- (1/3)2 /3 + (1/3)4/5 + (1/3)6/7+…… con P7
P7 = 0.321751
π/4 = 0.463648 + 0.321751 = 0.785399 y π=3.141596.. Muy buena la precisión.
El error cometido será menor que a8 + b8, él próximo término que no se tuvo en cuenta en las series infinitas consideradas.
Con este método se puede calcular el valor de π, con la precisión que queramos, simplemente aumentando los sumandos de la suma parcial Ps.
Cálculo de logaritmos
Recordemos las series que han sido numeradas (3) y (4)
1/(1+x) = 1- x +x2 –x3+x4 –x5+ + (-1)n xn +…. .......... ........................................(3)
1/(1-x) = 1+ x +x2 +x3+x4 +x5+ + xn +…. ............................................................(4)
Ambas son convergentes en el intervalo (-1, 1)
Realicemos la integral
∫1/(1+ t)dt =∫(1- t +t2 –t3+t4 –t5+ + (-1)n tn +…. ) dt
Entre t= 0 y t = x
ln(1 + x) = x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +x5/5 – x6/6 +……..(-1)n x (n+1) /(n+1) ...........(7)
∫1/(1- t)dt =∫1+ t +t2 +t3+t4 +t5+ + tn +…. ) dt
Entre t= 0 y t = x
ln(1 - x) = x + x2/2 + x3/3 + x4/4 +x5/5 + x6/6 +…….. x (n+1) /(n+1) ....................(8)
Las fórmulas (7) y (8) corresponden a series infinitas, que son absolutamente convergentes en el intervalo (-1, 1), por lo que nos permitirían calcular los ln de valores de x entre 0 y 2. Al igual que con la fórmula de la tangente inversa, estas fórmulas convergen muy lentamente y además no nos permiten encontrar cualquier logaritmo. Veamos un método mas adecuado para calcular el logaritmo natural de cualquier número real positivo.
Consideremos la función f(x) = (1+x)/ (1-x)
y = (1+x)/ (1-x) .............................................................................................................(9)
Dominio de esta función: todos los reales excepto el 1
La figura (1) es la gráfica de la función (9)
Observamos que si tomamos valores de x entre -1 y 1, la y = f(x) nos recorre todos los valores reales entre 0 e ∞.
Figura 1 y= (x+1)/(x-1)
Ahora
ln (x+1)/(x-1) = ln (1+x) – ln (1 –x) = (7) – (8)
= 2( x + x3/3 + x5/5 + x7/7 + x 2n-1 / (2n -1) + ) ...........................................................(10)
Si queremos conocer el ln de 9.5, hacemos y = 9.5
De la fórmula (9) despejamos x
x = (y-1)/(y+1) = 8.5/10.5 = 0.809523810
Con P50 de la fórmula (10) para x = 0.809523810 ,obtenemos ......ln9.5 =2,251291801
Para encontrar log 9.5, utilizamos la siguiente equivalencia:
log y = ln y /ln10
En el pasado, primero se calculaba ln 10,también con la fórmula (10)
ln10 = 2.302585093/
log 9.5 = ln 9.5 /ln 10 = 2,251291801/2.302585093 = 0.977723606
En la expresión (10) hemos llevado el valor de x = 0.809523810 y utilizamos el polinomio apropiado, de acuerdo con la precisión que requerimos.
Resumen
Hasta hoy hemos encontrado las siguientes series, que representan algunas funciones trascendentes o que nos permiten calcularlas.
ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! +……..xn /n!+……. ....................................x es un número real.
tan-1 x = x –x3/3 +x5/5 –x7/7 + + (-1)n x 2n+1/(2n +1) ….................................xέ(-1, 1)
ln(1 + x) = x – x2/2 + x3/3 – x4/4 +x5/5 – x6/6 +……..(-1)n x (n+1) /(n+1).......xέ (-1, 1)
ln (x+1)/(x-1)
= ln (1+x) – ln (1 –x) = 2( x + x3/3 + x5/5 + x7/7 + x 2n-1 /(2n -1)…….. + ......xέ (-1, 1)
Más adelante encontraremos series que representen el senx, cosx, tanx, sehnx, coshx y tanhx
Juan Fernando Sanin
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