sábado, 21 de mayo de 2011

FUNCIONES DE DOS VARIABLES - EXTREMOS RELATIVOS

Medellín, Junio 2011




FUNCIÓN DE DOS VARIABLES




VALORES EXTREMOS Y VALORES RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Una función de dos variables f es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en los reales, un número real z.

z = f(x, y)

Cómo el objetivo del blog es la aplicación del teorema del valor extremo, para funciones de dos variables, asumimos que tenemos claridad con los conceptos básicos de límites y derivadas parciales, para este tipo de funciones.


EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES




Donde fx es la derivada parcial de f con respecto a x, fy es la derivada parcial de f con respecto a y. Gradiente f(x, y) = del f(x, y) = fx por el vector unitario i + fy por el vector unitario j.

El símbolo del gradiente es el triangulo invertido, el cual se lee "del"



DERIVADA DIRECCIONAL


Si

U= cosθ i + sen θ j

La derivada direccional de la función f, en el punto de coordenadas P(x, y) en la dirección de U es igual a:

DUf(x, y) =fx(x, y)cosθ +fy(x, y) senθ

Que equivale al producto escalar de




El vector gradiente y el vector (xo, yo) están ambos en el plano xy, y el caso general es que formen un ángulo α diferente de 0.


EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS DE f(x, y)


Una función f(x, y) tiene un valor máximo absoluto en su dominio D perteneciente a los reales, si existe un punto Q(xo, yo) dentro del dominio, para el cual se cumple que

f(xo, yo) > f(x, y).......... para cualquier par ordenado (x, y) en D.

Una función f(x, y) tiene un valor mínimo absoluto en su dominio D perteneciente a los reales, si existe un punto Q(xo, yo) dentro del dominio, para el cual se cumple que:

f(x, y) > f(xo, yo)............. para cualquier par ordenado (x, y) en D.








Figura 1 Máximo y Mínimo de una función de dos variables.


En la figura 1, si la función es la superficie indicada, que se muestra con una malla gris y el dominio son todos los pares ordenados en el plano xy en el primer cuadrante, dentro de la región limitada por la recta x +y = 5, entonces el punto más bajo es el mínimo absoluto y el más alto, el máximo absoluto.

Una función f(x, y) tiene un valor máximo relativo en f(xo, yo), si existe un disco abierto ((xo, yo), r) dentro del dominio D, sin importar que tan pequeño sea r, para el cual se cumple que

f(xo, yo) > f(x,y)........... el par ordenado (x, y) está ubicado en la bola abierta.

Una función f(x, y) tiene un valor mínimo relativo en f(xo, yo), si existe un disco abierto ((xo, yo),r) dentro del dominio D, sin importar que tan pequeño sea r, para el cual se cumple que

f(x, y) < f(xo, yo).......... el par ordenado (x, y) está ubicado en la bola abierta.





Figura 2 Máximos y Mínimos relativos

En la figura 2 observamos extremos relativos de una función.


TEOREMA


Si f(x, y) existe en todos los puntos de un disco abierto ((xo, yo), r) y f(xo, yo) es un extremo relativo de la función en ese disco abierto, entonces, si fx(xo, yo) y fy(xo, yo) existen entonces:

fx(xo, yo) =0

fy(xo, yo) =0

Demostración

Sean las funciones de 1 una variable

g(x) =f(x, yo) ......y...... h(y) = f(xo, y)

g’(xo) = fx(xo, yo)....... y......... h’(yo) = fy(xo, yo)

Como fx(xo, yo) y fy(xo, yo) existen, entonces también existen g'(xo) y h’(yo) .

Además si f(xo, yo) es un extremo relativo, esto implica que g(xo) y h(yo) son también extremos relativos de sus respectivas funciones g(x) y h(y) y por tanto:

g’(xo) = 0

y

h’(yo)= = 0 .......y por consiguiente

fx(xo, yo)= 0 ......y....... fy(xo, yo)= 0

Con lo cual queda demostrado el teorema.


DEFINICIÓN DE PUNTO CRÍTICO EN f(x, y)


Sea Q(xo, yo) un punto en un disco abierto ((xo, yo), r) dentro del dominio D de la función f.

Este punto será un punto crítico si se da una de las dos condiciones siguientes:

fx(xo, yo) = 0.... y... fy(xo, yo) = 0... o

fx(xo, yo).... y... fy(xo, yo).................... no existen

Tal cual sucedía con las funciones en una sola variable.


Analicemos las siguientes figuras:






Figura 3 Valores extremos

En las figuras 3 a y 3 b, las funciones f las limitamos a la superficie dibujada.

En la figura 3 a es posible que haya dos o tres mínimos relativos, ubicados en la parte más baja de la superficie. El máximo absoluto estará en la parte más alta, sin que de la figura se pueda deducir cuál es o donde ocurre. En la figura 3 b, un paraboloide elíptico, hay un máximo relativo, que también es un máximo absoluto en (0, 0,12)


Ejemplo 1


Hallar los puntos críticos de la función

z=2x4 + y2 –x2 -2y

Figura 3 a

fx=8x3 – 2x = 0........ x= 0 ,... x= -1/2 ,... x = 1/2

fy= 2y – 2 y= 0....................y= 1

Los puntos del dominio de f donde fx y fy son iguales a 0 son:

(0, 1) , (-1/2, 1) , (1/2, 1)

f(0,1) = -1

f(-1/2, -1)= -9/8

f(1/2, 1) = -9/8

Por ahora, son sólo puntos críticos, con la sospecha de que se puede tratar de mínimos relativos. Eso lo descubriremos mas adelante.



Ejemplo 2


z= 12 – 3x2 – 4y2 .............Figura 3 b

fx= -6x= 0

fy= - 8y= 0

Por tanto el punto crítico es (0,0)

De la figura podemos concluir que se trata de un máximo relativo. Además, la derivada direccional según el eje x pasa de +(Positiva) a – (Negativa) en la vecindad de x= 0, lo que nos indicaría que en ese plano hay un máximo relativo.

Igualmente, la derivada direccional según el eje y también pasa de + a -, lo cual nos indicaría que en ese plano, hay un máximo relativo.

No obstante, el hecho de que las derivadas direccionales según los ejes x e y nos indiquen un máximo relativo, esto no es siempre cierto en funciones de dos variables.


Ejemplo 3


z= xy

fx= y = 0

fy= x = 0

El punto crítico ocurre en (0, 0) y además, tanto la derivada direccional según el eje x, como según el eje y, pasa de – a +, lo que nos indicaría que se trata de un mínimo relativo. No obstante esto no es cierto.

La gráfica de esta función está representada en la figura 4





Figura 4 paraboloide hiperbólico z = xy

Lo anterior nos indica que los criterios de la primera derivada que se utilizaban en las funciones de una variable, no son aplicables para funciones de dos variables. Por consiguiente debe existir otro criterio que nos permita saber si un extremo relativo es un máximo o un mínimo.


CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS


Si z= f(x, y) es tal que en (xo, yo) se tiene que fx(xo, yo)=0 y fy(xo, yo) = 0 podemos deducir que en este hay un punto crítico allí. Pero para saber si se trata de un máximo o de un mínimo relativo o un punto de silla, debemos aplicar un criterio llamado el Hessiano, el cual dice lo siguiente:

Si f es una función de dos variables, tal que ella misma al igual que sus primeras y segundas derivadas son continuas en un disco abierto B ((a, b), r) llamamos Hessiano a la expresión:

D(a, b) = fxx(a, b) fyy(a, b) – (fxy (a, b)) 2

1) D(a, b) >0.....fxx(a, b) >0.... y....fyy(a, b) > 0... entonces en (a, b) hay un mínimo relativo.

2) D(a, b) >;0..... fxx(a, b) <0.... y.... fyy(a, b) < 0... entonces en (a, b) hay un máximo relativo.

3) D(a, b) <0 .........Entonces en (a, b) hay un punto de silla

4) D(a, b) = 0.........El criterio no decide nada

Este criterio no tiene nada que ver con sentido común y requiere de una demostración rigurosa, la cual se encuentra en el Cálculo de Leithold Suplemento 12.8.


Ejemplo 4


z=2x4 + y2 –x2 -2y......... fig 3 a

fx= 8x3 – 2x

fy= 2y – 2

fx= 0 implica que x=0... x=1/2... x= -1/2

fy= 0 implica que y= 1

Los puntos críticos son (0, 1) , (1/2, 1), (-1/2, 1)

fxx= 24x2 -2

fyy = 2

fxy =0

fxx(0, 1) = - 2

fyy(0, 1) =2

D(0,1) = -4 ............Punto de silla

fxx(1/2, 1) = 4

fyy(1/2, 1) = 2

fxy (0, 1) = 0

D(1/2, 1)= 8 .......... Se trata de un mínimo relativo

fxx(-1/2, 1) = 4

fyy(-1/2, 1) = 2

fxy(0, 1) = 0

D(-1/2, 1) = 8 ...........Se trata de un mínimo relativo




Figura 5

Ejemplo de identificación de puntos críticos


Ejemplo 5


z= xy ........Paraboloide hiperbólico figura 4

fx= y...... fy = x...... fxx=0...... fyy=0...... fxy=1

El punto crítico queda en (0, 0)

D(0, 0) = -1 por lo cual en (0, 0) hay un punto de silla. (Figura 4)

Nota. La próxima entrada será sobre el teorema del valor extremo, en funciones de dos variables.



Juan Fernando Sanin

Juanfernando.sanin@gmail.com


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