Algoritmo para calcular la inversa de una matriz

Medellín, Marzo 2011

ALGORITMO PARA ENCONTRAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA NO SINGULAR

Sea A una matriz no singular (No singular significa que la matriz tiene inversa)

Para saber si es no singular debemos resolver detA.

Si detA =0 la matriz es singular y no tiene inversa. Si detA es un número real, entonces A si tiene inversa en los reales.

Antes de iniciar el algoritmo, veamos que son las matrices elementales filas.

Sea Inxn

MATRICES ELEMENTALES FILA E

Las matrices elementales Enxn son:

E (i) (j) es la misma matriz identidad, en la cual se han intercambiado las filas i y j.

E k (i) es la misma matriz identidad, en la cual la fila i se ha multiplicado por k.

E (i)+c (j) es la misma matriz identidad, en la cual cambiamos la fila i por la resultante de la suma fila (i) + c veces la fila (j)

Sin intentar demostración, estas matrices, al igual la matriz identidad, tienen inversa. Estas inversas son:

E^-1(i) (j) = E (i)(j)

E^-1k (i) = E 1/k(i)

E^-1(i)+c (j) = E (i)-c(j)

Para que sirven estas matrices elementales?

Vamos a ilustrarlo con matrices 2x2

Cuando realizamos el producto E(i)+c(j) A, el resultado final es la matriz A en la cual la fila original i se cambia por el resultado de Fila(i) + c(fila j).

Observemos que siempre la matriz E va primero que la matriz A, cuando se realizan estas operaciones con filas.

El Algoritmo para encontrar A ^-1

Lo primero es construir una matriz doble con la matriz A original a la izquierda y la matriz identidad I a la Izquierda.

La idea fundamental es que, a través de operaciones elementales de filas, convirtamos las filas y columnas de la matriz A en la matriz identidad I. La matriz en la que se convierta lo que iniciamos como matriz identidad, será la matriz inversa de A.

Una vez tengamos la matriz A/I colocamos a la derecha la operación elemental que nos vaya convirtiendo la matriz A en una matriz escalonada.

(Ver al final que es una matriz escalonada).

Luego que A esté escalonada, la diagonalizamos de una manera similar.

Iniciamos haciendo operaciones E para que a₂₁=0, Luego para que a₃₁= 0 y luego que a₃₂ = 0. Iniciemos el algoritmo.

Realmente hemos hecho lo siguiente:

(E(1)+(3)x-1/2 E(2) + (3)x3/2 E(1) + (2) x -1/3 E(2) x(-3/4) E(3)x ½ E(2)-(1) E(3) – (1) E(1)x1/3) A = I

Simplificando:

Si llamamos E el producto de todas esas funciones elementales filas, en el orden indicado, porque así es que hemos venido haciendo las transformaciones, obtenemos:

EA = I

O sea que E (el producto de las matrices que se indican) es la matriz inversa de A = A ^-1

Igualmente hemos hecho

EI = B

O sea que E = B

Por tanto, B, que es la matriz en la que se transformó la matriz I corresponde a la matriz A ^-1

Nota:

Matrices escalonadas

Una matriz es escalonada si verifica lo siguiente:

1) El primer coeficiente no nulo de cada fila es 1, y se llama el pivote de la fila.

2) El pivote de cada fila (a partir de la segunda) se encuentra estrictamente más lejos (es decir, en una columna de índice estrictamente mayor) que el pivote de la fila anterior.

3) Puede tener abajo un cierto número de filas nulas.

Se sugiere investigar mejor acerca de las matrices escalonadas.

Juan Fernando Sanin E

Juanfernando.sanin@gmail.com