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Mayo 2025
Integral que incluye una función inversa, cuya función original tiene fórmula algebraica, pero la inversa no.
∫f-1(x)dx
f tiene fórmula algebraica, trigonométrica, logarítmica, exponencial y f-1puede tener fórmula o no. Si f-1 tiene fórmula, el problema es inocuo, ya que la integral se integra con las reglas tradicionales de la integración. Pero si no tiene fórmula, caso función de Lambert W(x), que es la inversa de la función f(x) = xex.
Imagínese la función f(x) = xsen(x) definida en el dominio [0, 2] radianes
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Figura (1) Gráfica de la función y = xsen(x)
en Dominio [0, 2] radianes. El máximo ocurre en x = 2
Esta función tiene inversa porque es monótona creciente, pero esta inversa, no tiene fórmula. Igual pasa con la función W(x) de Lambert, que, tiene inversa, pero esta no tiene fórmula. La función W(x) tiene dos ramas, una de ellas es:
Figura (2) Función de Lambert, ramas W-1 y Wo
Sólo trabajaremos con Wo
Dado un valor de x en el dominio de W(x), podemos calcular W(x) por medio
de un algoritmo. También, se puede pedir que se lo calculen en línea o igualmente,
hay calculadoras que tienen programado ese algoritmo.
Ej x = 1 W(1) = 0,567143 x = 5 W(5) = 1,326725 Estos valores los conseguimos en línea o con una calculadora matemática moderna.
La función de Lambert es muy importante en la solución de ecuaciones exponenciales, mientras que la función R inversa de f(x) = xsen(x) no lo es, sólo la estamos utilizando a manera de ejemplo.
No obstante, R tiene dominio que es [0, 1,82] y rango que es [0,2],y
además, es simétrica de xsen(x), respecto a la recta y = x
Volvamos a los que nos interesa:
∫f-1(x)dx (1)
Sea y = f-1(x) (2)
f(f-1(x)) = x y = f-1(x)
De (2) se concluye que: f(y)= x derivando, con derivación implícita, tenemos
f’(y) dy/dx = 1 dx = f’(y)dy y reemplazando en la (1) obtenemos:
∫yf’(y)dy Esta integral la podemos solucionar por partes
u= y dv = f’(y)dy
du = dy v = f(y)
∫yf’(y)dy = yf(y) - ∫f(y)dy (4)
La fórmula (4) es la que permite hacer integraciones de f-1(x),utilizando la función directa.
Veamos un ejemplo
f(x) = x3 f-1(x) = x1/3
∫f-1(x)dx = yf(y) - ∫f(y)dy = y y3 - ∫y3dy = y4 –y4/4 + C
= (3/4)y4 + C
Reemplacemos y por x 1/3
∫f-1(x)dx = (3/4) (x 1/3) 4 + C = (3/4) x 4/3 + C
Ahora, integremos directamente ∫f-1(x)dx = ∫x 1/3 dx = (3/4)x 4/3 + C
Este ejemplo es inocuo, desde el punto de vista de la integración, pero comprueba la fórmula (4)
La fórmula (4) es poderosa, cuando f-1(x), no tiene fórmula, pero f(x) si, como es el caso de la función de Lambert, en sus dos ramas W-1 y Wo
f(x) = xex W(x) es la inversa de la función anterior, pero no tiene fórmula.
Que haríamos si tuviéramos que integrar
Derivación de la función inversa
f(x) y f-1(x) mutuamente inversas
y = f-1(x)
f(y) = f(f-1(x)) = x (7)
Derivando la ecuación (7), implícitamente respecto de x
f’(y)dy/dx = 1 dy/dx = 1/f’(y) = 1/ f’(f-1(x)) (8)
La fórmula (8) es la fórmula general para la derivada de la función inversa.
Veamos un ejemplo:
f(x) = sen(x) Dominio restringido a [-p/2, p/2] y Rango [-1, 1]
La función inversa de sen(x) es f-1(x) = arcsen(x) = sen-1(x) D = [-1, 1] R = [-p/2, p/2]
La derivada de arcsen(x), de acuerdo con la fórmula (8)
(arcsen(x))’ = 1/(cos(arcsen(x)))’
En el triángulo de la figura (3) veamos que es el ángulo θ = sen-1(x)
Figura (3)
La derivada del seno es el coseno. Por tanto, con la
fórmula (8)
En-1(x)
La derivada de sen-1(x) será igual a 1/
cos(sen-1(x))
Es decir:
arcsen(x)’ = 1/√(1 – x2)
Juan Fernando Sanín E
