Medellín, octubre 2024
Problemas seleccionados de cálculo
Integral infinita y repaso de la función W de Lambert
1. 1. Integral de un integrando infinito
2.
Algunas
funciones discretas de x
Función y = ⎿x⏌= piso(x); y = ⎾x⏋ = cielo(x), función parte fraccionaria o decimal de x; y = parte decimal (x) = {x}
Función y = piso(x) = ⎿x⏌ y es igual al menor entero mayor que x
Ejemplo y = piso (2,8) = 2, y = Piso(-101,3) = -102 y = piso(-0,7) = -1
Figura 1 Función Piso de x
Función y = techo(x) = cielo(x) = ceiling(x) =⎾x⏋ y es igual al mayor entero mayor que x
Figura 2, función techo de x (ceiling(x)
⎾3,4⏋= 4
⎾-2,4⏋= -2
⎾-0,7⏋= 0
⎾-100,6⏋= -100
Función parte decimal y = {x} = x - ⎿x⏌
Ej. {3,5} = 3,5 – piso(3,5) = 3,5 – 3 = 0,5
{-3,6} = -3,6 - piso(-3,6) = -3,6 –(- 4) = 0,4
{-1,3} = -1,3- piso(-1,3) = -1,3 –(- 2) = 0,7
Resolvamos una ecuación que involucre una de estas 3 funciones
⎾x⏋/⎿x⏌ + 2x = 8 (1) Alto grado de dificultad!
Lo primero que observamos es que ⎿x⏌ debe ser ≠0 y además x ∉(0, 1)
Veamos qué pasa cuando x<0
Si x es negativo, k<= x <= k+1 y la ecuación (1) se convertirá en (k+1)/k + 2x = 8
(k +1/k) > 0 y tiende a 1, cuando x tiende a -∞ (Es positivo, porque ambos k +1 y k son negativos.
Veamos qué pasa con la ecuación (1) cuando x = -4,3 ⎾x⏋/⎿x⏌ = (k+1)/k =
( -4+1)/(-5) = (-3)/(-5) = 3/5
La ecuación queda 2x = 8 – 3/5 = 37/5 x = 3,7; lo que es absurdo, porque habíamos partido de x = -4,3
Por lo anterior excluimos todos los reales negativos, de la solución de x.
Para encontrar una solución, suponemos que x es un real positivo >1, tal que
k <= x <= k + 1 y la ecuación original (2)
(k+1)/k + 2x = 8 de la cual deducimos que x = (7k -1) / (2k) (3)
(3) en (2)
k ⦤ (7k -1) / (2k) ⦤k +1 (4
La ecuación (3) nos provee dos desigualdades, que deben ser satisfechas por los valores de k que sean solución
2k2 – 7k +1 ⦤0 (5) y 7k – 1 - 2k2 -2k ⦤ 0 (6)
K2 – (7/2) k + ½ ⦤0 (5a) y k2 –(5/2)k + ½ ⦥ 0 (6a)
Resolviendo y factorizando las ecuaciones (5a) y (6a) con la ayuda de Derive, obtenemos:
La (5a) (k – 0,142)(k – 3,3508) que es negativa para k ∈[0,142, 3,3508]
La (6a) (k – 0,2192)(k – 2,2808) que es positiva para k∈[-∞, 0,2192] cuyo intervalo no cumple las condiciones identificadas anteriormente.
Igualmente (6a) es positiva en el
intervalo k∈ (2,2808, ∞)
Los enteros que son intersección de soluciones a (5a) y (6a) son la solución para k
Sólo k = 3 sirve como solución. Ahora encontremos x en la ecuación original
4/3 + 2x = 8 x = (8 – 1,33333…)/2 x = 3,3333333.. = 10/3
Remplacemos en la ecuación original:
4/3 + 2(10/3) = 24/3 = 8
3. Problema de solución de una ecuación, aplicando la función de Lambert.
xx =12
Refresquemos el concepto de la función de W de Lambert. (Hay varios blogs del autor Maths, dedicados a esta función)
La función xex tiene un dominio (-∞, ∞) = Reales rango = [-1/e, ∞)
No es biyectiva, en el sentido que para dos valores diferentes de x, podemos obtener un mismo valor de y
Figura 3 gráfico de f(x) = xex
Estrictamente f(x) no tiene una inversa única, pero dada la importancia de la función se ha obtenido una inversa para la parte decreciente, que hemos llamado W-1y otra para la parte creciente, que hemos llamado Wo
Es obvio que no es posible encontrar fórmulas algebraicas para las funciones Wo y W-1, ya que no es posible despejar x en la ecuación y = xex
.jpg)
Figura 4, funciones Wo y W-1
Limitemonos
a la rama principal de Wo
. Cuyo dominio va des
[-1/e, ∞)
y cuyo rango va de [-1, ∞)
Aunque la inversa de xex
no tiene fórmula, pero hay algoritmos que nos permiten encontrar valores de
específicos de W.
Si tenemos un valor
específico de xex, digamos 12,5 podemos encontrar el valor de x que
produjo ese valor, simplemente hallando W(12,5) = 1.889445
Lo obtuve de una
calculadora libre en la red, que tiene la función W y se encuentra en el
siguiente link:
https://www.had2know.org/academics/lambert-w-function-calculator.html
Problema:
Resolver la ecuación xx = 12 , utilizando el método
de Lambert
xx = 12 → x lnx = ln12 todavía no se parece a Lambert
Cambiando x por e lnx
elnx lnx =
lnx e lnx = ln12; esto si se parece a la aplicación de Lambert
Sea u = lnx ueu =
ln12 y
W(ueu) = u =
W(ln12)
Ln12 = 2,484991
W(2,484991) = u Cómo hallamos el valor de W(2,484991)? R_
Con el link que indiqué anteriormente:
u = 0,9556415 = lnx
e 0,9556415
= x x =
2,600338
Verifiquemos la
respuesta:
2,600338 2,600338
= 12
Otro ejemplo
Resolver por medio de
la inversa W de Lambert, la ecuación x + ex
= 5
Para que se parezca a
una ecuación que se pueda resolver por Lambert hacemos los siguientes cambios.
ex = 5 - x
1= (5 .- x) e -x
e5 = (5 – x) e -x e5
(5 – x) e5 - x = e5
u = 5 - x
ueu = e5
W(ueu) = u = W(e5)
W(e5) = 3,693441 Con el link sugerido.
u = 5 – x = 3,693441 x = 5 - 3,693441 = 1,306559
Reemplacemos en la ecuación:
1,306559 + e 1,306559 = 5,000001 la millonésima se debe a los decimales, pero en realidad no existe,
Juan Fernando Sanin E
