FUNCIONES DE DOS VARIABLES - EXTREMOS RELATIVOS

Medellín, Junio 2011

FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

VALORES EXTREMOS Y VALORES RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Una función de dos variables f es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en los reales, un número real z.

z = f(x, y)

Cómo el objetivo del blog es la aplicación del teorema del valor extremo, para funciones de dos variables, asumimos que tenemos claridad con los conceptos básicos de límites y derivadas parciales, para este tipo de funciones.

EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Donde f_x es la derivada parcial de f con respecto a x, f_y es la derivada parcial de f con respecto a y. Gradiente f(x, y) = del f(x, y) = fx por el vector unitario i + fy por el vector unitario j.

El símbolo del gradiente es el triangulo invertido, el cual se lee "del"

DERIVADA DIRECCIONAL

Si

U= cosθ i + sen θ j

La derivada direccional de la función f, en el punto de coordenadas P(x, y) en la dirección de U es igual a:

D_Uf(x, y) =f_x(x, y)cosθ +f_y(x, y) senθ

Que equivale al producto escalar de

El vector gradiente y el vector (x_o, y_o) están ambos en el plano xy, y el caso general es que formen un ángulo α diferente de 0.

EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS DE f(x, y)

Una función f(x, y) tiene un valor máximo absoluto en su dominio D perteneciente a los reales, si existe un punto Q(x_o, y_o) dentro del dominio, para el cual se cumple que

f(x_o, y_o) > f(x, y).......... para cualquier par ordenado (x, y) en D.

Una función f(x, y) tiene un valor mínimo absoluto en su dominio D perteneciente a los reales, si existe un punto Q(x_o, y_o) dentro del dominio, para el cual se cumple que:

f(x, y) > f(x_o, y_o)............. para cualquier par ordenado (x, y) en D.

Figura 1 Máximo y Mínimo de una función de dos variables.

En la figura 1, si la función es la superficie indicada, que se muestra con una malla gris y el dominio son todos los pares ordenados en el plano xy en el primer cuadrante, dentro de la región limitada por la recta x +y = 5, entonces el punto más bajo es el mínimo absoluto y el más alto, el máximo absoluto.

Una función f(x, y) tiene un valor máximo relativo en f(x_o, y_o), si existe un disco abierto ((x_o, y_o), r) dentro del dominio D, sin importar que tan pequeño sea r, para el cual se cumple que

f(x_o, y_o) > f(x,y)........... el par ordenado (x, y) está ubicado en la bola abierta.

Una función f(x, y) tiene un valor mínimo relativo en f(x_o, y_o), si existe un disco abierto ((x_o, y_o),r) dentro del dominio D, sin importar que tan pequeño sea r, para el cual se cumple que

f(x, y) < f(x_o, y_o).......... el par ordenado (x, y) está ubicado en la bola abierta.

Figura 2 Máximos y Mínimos relativos

En la figura 2 observamos extremos relativos de una función.

TEOREMA

Si f(x, y) existe en todos los puntos de un disco abierto ((x_o, y_o), r) y f(x_o, y_o) es un extremo relativo de la función en ese disco abierto, entonces, si f_x(x_o, y_o) y f_y(x_o, y_o) existen entonces:

f_x(x_o, y_o) =0

f_y(x_o, y_o) =0

Demostración

Sean las funciones de 1 una variable

g(x) =f(x, y_o) ......y...... h(y) = f(x_o, y)

g’(x_o) = fx(x_o, y_o)....... y......... h’(y_o) = fy(x_o, y_o)

Como f_x(x_o, y_o) y f_y(x_o, y_o) existen, entonces también existen g'(x_o) y h’(y_o) .

Además si f(x_o, y_o) es un extremo relativo, esto implica que g(x_o) y h(y_o) son también extremos relativos de sus respectivas funciones g(x) y h(y) y por tanto:

g’(x_o) = 0

y

h’(y_o)= = 0 .......y por consiguiente

fx(x_o, y_o)= 0 ......y....... fy(x_o, y_o)= 0

Con lo cual queda demostrado el teorema.

DEFINICIÓN DE PUNTO CRÍTICO EN f(x, y)

Sea Q(x_o, y_o) un punto en un disco abierto ((x_o, y_o), r) dentro del dominio D de la función f.

Este punto será un punto crítico si se da una de las dos condiciones siguientes:

fx(x_o, y_o) = 0.... y... fy(x_o, y_o) = 0... o

fx(x_o, y_o).... y... fy(x_o, y_o).................... no existen

Tal cual sucedía con las funciones en una sola variable.

Analicemos las siguientes figuras:

Figura 3 Valores extremos

En las figuras 3 a y 3 b, las funciones f las limitamos a la superficie dibujada.

En la figura 3 a es posible que haya dos o tres mínimos relativos, ubicados en la parte más baja de la superficie. El máximo absoluto estará en la parte más alta, sin que de la figura se pueda deducir cuál es o donde ocurre. En la figura 3 b, un paraboloide elíptico, hay un máximo relativo, que también es un máximo absoluto en (0, 0,12)

Ejemplo 1

Hallar los puntos críticos de la función

z=2x⁴ + y² –x² -2y

Figura 3 a

f_x=8x³ – 2x = 0........ x= 0 ,... x= -1/2 ,... x = 1/2

f_y= 2y – 2 y= 0....................y= 1

Los puntos del dominio de f donde fx y fy son iguales a 0 son:

(0, 1) , (-1/2, 1) , (1/2, 1)

f(0,1) = -1

f(-1/2, -1)= -9/8

f(1/2, 1) = -9/8

Por ahora, son sólo puntos críticos, con la sospecha de que se puede tratar de mínimos relativos. Eso lo descubriremos mas adelante.

Ejemplo 2

z= 12 – 3x² – 4y² .............Figura 3 b

fx= -6x= 0

fy= - 8y= 0

Por tanto el punto crítico es (0,0)

De la figura podemos concluir que se trata de un máximo relativo. Además, la derivada direccional según el eje x pasa de +(Positiva) a – (Negativa) en la vecindad de x= 0, lo que nos indicaría que en ese plano hay un máximo relativo.

Igualmente, la derivada direccional según el eje y también pasa de + a -, lo cual nos indicaría que en ese plano, hay un máximo relativo.

No obstante, el hecho de que las derivadas direccionales según los ejes x e y nos indiquen un máximo relativo, esto no es siempre cierto en funciones de dos variables.

Ejemplo 3

z= xy

f_x= y = 0

f_y= x = 0

El punto crítico ocurre en (0, 0) y además, tanto la derivada direccional según el eje x, como según el eje y, pasa de – a +, lo que nos indicaría que se trata de un mínimo relativo. No obstante esto no es cierto.

La gráfica de esta función está representada en la figura 4

Figura 4 paraboloide hiperbólico z = xy

Lo anterior nos indica que los criterios de la primera derivada que se utilizaban en las funciones de una variable, no son aplicables para funciones de dos variables. Por consiguiente debe existir otro criterio que nos permita saber si un extremo relativo es un máximo o un mínimo.

CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS

Si z= f(x, y) es tal que en (x_o, y_o) se tiene que fx(x_o, y_o)=0 y fy(x_o, y_o) = 0 podemos deducir que en este hay un punto crítico allí. Pero para saber si se trata de un máximo o de un mínimo relativo o un punto de silla, debemos aplicar un criterio llamado el Hessiano, el cual dice lo siguiente:

Si f es una función de dos variables, tal que ella misma al igual que sus primeras y segundas derivadas son continuas en un disco abierto B ((a, b), r) llamamos Hessiano a la expresión:

D(a, b) = f_xx(a, b) f_yy(a, b) – (fxy (a, b)) ²

1) D(a, b) >0.....fxx(a, b) >0.... y....fyy(a, b) > 0... entonces en (a, b) hay un mínimo relativo.

2) D(a, b) >;0..... fxx(a, b) <0.... y.... fyy(a, b) < 0... entonces en (a, b) hay un máximo relativo.

3) D(a, b) <0 .........Entonces en (a, b) hay un punto de silla

4) D(a, b) = 0.........El criterio no decide nada

Este criterio no tiene nada que ver con sentido común y requiere de una demostración rigurosa, la cual se encuentra en el Cálculo de Leithold Suplemento 12.8.

Ejemplo 4

z=2x⁴ + y² –x² -2y......... fig 3 a

f_x= 8x³ – 2x

f_y= 2y – 2

fx= 0 implica que x=0... x=1/2... x= -1/2

fy= 0 implica que y= 1

Los puntos críticos son (0, 1) , (1/2, 1), (-1/2, 1)

f_xx= 24x² -2

f_yy = 2

f_xy =0

f_xx(0, 1) = - 2

f_yy(0, 1) =2

D(0,1) = -4 ............Punto de silla

f_xx(1/2, 1) = 4

f_yy(1/2, 1) = 2

f_xy (0, 1) = 0

D(1/2, 1)= 8 .......... Se trata de un mínimo relativo

f_xx(-1/2, 1) = 4

f_yy(-1/2, 1) = 2

f_xy(0, 1) = 0

D(-1/2, 1) = 8 ...........Se trata de un mínimo relativo

Figura 5

Ejemplo de identificación de puntos críticos

Ejemplo 5

z= xy ........Paraboloide hiperbólico figura 4

f_x= y...... f_y = x...... f_xx=0...... f_yy=0...... f_xy=1

El punto crítico queda en (0, 0)

D(0, 0) = -1 por lo cual en (0, 0) hay un punto de silla. (Figura 4)

Nota. La próxima entrada será sobre el teorema del valor extremo, en funciones de dos variables.

Juan Fernando Sanin

Juanfernando.sanin@gmail.com

Problemas de optimización

Medellín Mayo 2011

VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN DE UNA SOLA VARIABLE

Extremos relativos

Máximo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en c, f(c), si existe un intervalo abierto que contenga a c, para el cual se cumpla que:

f(c)> f(x) para todo x en el intervalo mencionado,

Figura 1

Máximos y Mínimos relativos de una función

Las figuras 1 a y 1 b nos muestran que en c hay un máximo relativo. Note que la definición no habla nada de la derivabilidad de f y mucho menos la tiene en cuenta.

Mínimo relativo

Una función f tiene un mínimo relativo en c, f (c) si existe un intervalo abierto que contenga a c, para el cual se cumpla que:

f(x)>f(c)

Para todo x en el intervalo mencionado.

Las figuras 1 c y 1 d nos muestran mínimos relativos en c

Note que la función f(x) de 1 d no es diferenciable en x=c

Punto crítico de una función

P(c, f(c)) es un punto crítico de una función f en un intervalo abierto que contenga a c, si y solo si

f’(x) = 0 o f’(x) no existe

En las figuras 1 a y 1 c, en c hay un punto crítico y la derivada f’(x) =0

En las figuras 1 b y 1 d, en c hay un punto crítico y la derivada f(x) no existe.

Criterio de la primera derivada para determinar si un punto crítico se trata de un máximo o de un mínimo.

Para este análisis nos remitiremos al caso de que el punto crítico se obtiene porque la derivada f’(c) = 0

Observemos la figura 2

Figura 2

Criterio de la primera derivada para determinar si un punto crítico se trata de un máximo o de un mínimo relativo.

En la figura 2 a podemos ver como la derivada de f, para valores de x en la cercanía de c, pero inferiores a c, es positiva, mientras que para valores de x en la cercanía de c, pero superiores a c, es negativa. Si la derivada es continua, necesariamente pasa por el valor 0.Vemos que se trata de un máximo relativo y observamos que la derivada pasa de + a -.

En la figura 2 b podemos ver como la derivada de f, para valores de x en la cercanía de c, pero inferiores a c, es negativa, mientras que para valores de x en la cercanía de c, pero superiores a c, es positiva. Vemos que se trata de un mínimo relativo y observamos que la derivada pasa de - a +.

Igualmente, cuando f’(c) no existe en c, en la gráfica 1 b, vemos que para valores de x inferiores a c (en su vecindad) la derivada es positiva, mientras que para valores de x mayores a c (en la vecindad de c), la derivada es negativa y se trata de un máximo relativo.

Un análisis similar se puede hacer para la figura 1 d, del cual concluiríamos que si f’(c) no existe (f(c) si existe) pero la derivada pasa de – a + , la función tiene un mínimo relativo en x=c.

Ejemplo 1

Encontrar los números críticos, los puntos críticos y determinar si se tratan de máximos o mínimos relativos.

f(x)=(x³-3x²+4) ^1/3 x pertenece a los Reales

Primero, encontremos f’(x)

f’(x) =(1/3)( x³-3x²+4) ^-2/3 (3x²-6x) (1)

Que es igual a 0 cuando

3x²-6x=0

3x(x-2)=0 (2)

O sea

x=0

x=2

Los números críticos son x= 0 y x = 2

Allí ocurren los puntos críticos, los cuales son:

Para x=0 f(0)= 4 ^1/3

Para x=2 f(2)=0

A(0, 4 ^1/3)

B(2, 0)

Para saber si son máximos o mínimos relativos, analizamos la expresión (1) o en su defecto, la (2), que es la que, en este caso, le da el signo a la derivada.

Para valores de x en la vecindad de 0, menores que 0 la (2) es -*- = +

Para valores de x en la vecindad de 0, mayores que 0 la (2) es +*-= -

O sea la derivada pasa de + a – y por tanto se trata de un máximo relativo.

Para valores de x, en la vecindad de 2, menores que 2 la (2) es +*- = -

Para valores en la vecindad de 2, mayores que 2 la (2) es +*+= +

O sea la derivada pasa de - a + y por tanto se trata de un mínimo relativo.

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO

Consideremos una función f(x) cuyo dominio es el intervalo cerrado [a, b]

Recordemos las condiciones para que haya continuidad en un punto de abscisa c

f(x) es continua en c si se cumplen las siguientes condiciones:

i) .f(c) existe

ii) Lim f(x) = f(c)

x→c^-

iii) .Lim f(x) = f(c)

x→c⁺

f(x) es continua en [a, b] , cuando es continua en todos los números reales que pertenecen a este intervalo.

En la figura 3 se muestran ejemplos de funciones continuas y no continuas en un intervalo dado.

Figura 3

Figura 3 a No es aplicable el teorema del valor extremo, ya que la función es discontinua en c. Vemos que hay un mínimo f(a).

Figura 3 b El teorema del valor extremo no es aplicable, ya que la función está definida en el intervalo abierto (a, b), pero observamos que hay un máximo relativo interior f(c).

Figura 3 c El teorema del valor extremo si es aplicable, ya que la función es continua en el intervalo [a, b] (Note que la función no es derivable en (a, b)), se ve que hay un máximo absoluto en c y un mínimo absoluto en a.

Figura 3 d El teorema del valor extremo no es aplicable porque la función no es continua en c. No obstante, se observa, que aunque no hay un máximo absoluto, si hay un mínimo absoluto f(a).

Estrictamente, el teorema del valor extremo sólo es aplicable para una función(x) si f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

Aunque hay demostraciones razonables del teorema del valor extremo, estas en vez de aclarar, la mayoría de los casos complican el panorama. En mi opinión, este teorema, más que un teorema, es un axioma dentro del concepto de los números reales y de función en los números reales

Ejemplo 2

La aplicación práctica de la comprensión del teorema del valor extremo, lo podemos llamar “problemas de optimización”.

Una isla está ubicada en el punto A, 4km mar adentro del punto más cercano B de una playa recta. Hay una mujer en la isla que desea ir al punto C, 6 km de B playa abajo. La mujer puede dirigirse hacia el punto P, entre A y C en un bote de remos a 5km/h hasta un punto P y después caminar en forma recta de P a C a 8 km/h.

Dónde deberá estar ubicado el punto P, para que la mujer viaje de A hasta C en el menor tiempo.

Figura 4

Llamaremos la distancia BP = x

AP = (4 ²+x ²) ^½

Velocidad remando:5 km/h

Velocidad caminando 8 km/h

Como tiempo = espacio/velocidad, entonces, si llamamos t el tiempo que se tarda la mujer para ira de A hasta C, este, en términos de x será:

t=(4 ²+x ²) ^½/5 + (6-x)/8

Dónde x estará en el intervalo cerrado [0, 6]

Como la función t es derivable, esto implica que es continua y por tanto, debe existir un mínimo absoluto, el cual puede quedar o en un punto crítico (t’(x)=0) o en t(0) o en t(6)

Encontremos los puntos críticos

t’(x)=(1/5)(1/2) (16+x²) ^-1/2 (2x) -1/8 = (1/5)(16+x²) ^-1/2 (x) -1/8 = 0

Simplificando la expresión:

8x – 5 (16+x²) ^½ = 0

x= ±3.2026

Descartamos a – 3.2026 porque no está en el dominio del problema.

El número crítico es 3. 2026

Tenemos que evaluar t(0) , t(6) y t(3.2026) y escoger el menor de los tres.

t(0)=4/5+6/8=1.55h

t(6)=(16+36) ^½ /5= 1.4422

t(3.2026) = (16 + 3.2026 2) ^½ /5 +(6 – 3.2026)/8 =5.1241/5 + 2.7974/8 =1.3745h

O sea que el mejor camino que puede tomar la mujer es ir remando desde A hasta un punto P ubicado 3.2026 y luego caminar hasta C.

En la próxima entrada abordaremos el mismo problema, pero en funciones de 2 variables.

Juan Fernando Sanin

Juanfernando.sanin@gmail.com