Agosto,
2025
Blog Algunos problemas de números complejos
1. Logaritmo del complejo z = a + bi
Sea P(A, B)
El
módulo de z es r = √(a2 + b2), es decir la distancia positiva entre el
origen (0, 0) y el punto P(A, B)
El
argumento es θ, el ángulo, en sentido antihorario, que forma la recta OP con el eje
real (que corresponde al eje x)
Figura
(1) Módulo y argumento de un número complejo
Sabemos que el complejo z se puede escribir a + bi o
z = re iθ = r (cosθ+ i senθ) (1)
r = Módulo(z)
Tomando
ln a ambos lados en la expresión (1), obtenemos ln(z)
= lnr + ln(e i θ) = lnr + iθ
Ejemplo, encontremos el ln(i)
Ln(i) = ln(0 + 1i)= ln1 + (π/2) i θ = π/2
ln(i) = (π/2) i
i = e ln(i)
ln(i) lo acabamos de encontrar.
i = e i(π/2)
i i= (e i(π/2))i= e -1(π/2)
ya que i*i = -1, el módulo de i es 1 y el argumento de i es π/2
e -(π/2) es el valor de i^i y además, es real e -(π/2) = 0,207879
2. 3. Encontrar el valor de x, si x es igual a:
Aquí
el problema se reduce a encontrar W(-(π/2) i), lo cual en principio es difícil.
Los
programas de matemáticas Mathlab y Derive, en sus últimas actualizaciones,
tienen la manera de encontrar la función W, no sólo para reales, sino para
complejos.
Mi
Derive no tiene como calcular W para números complejos. En mi calculadora, hice un programa para
calcular W para números reales. Es un poco antigua y no trabaja con complejos.
No
obstante, si busco en Google, "calculo de W para números complejos online", me salen
varias opciones. He escogido una que se llama "Wolfram Alpha" y cuya apariencia es
como sigue:
Figura
2 Wolfram Alpha
Después de entrar la función LambertW(-(π/2), le doy la opción = ejecutar
En
la parte de debajo de la pantalla me aparece:
Figura
3 Resultados de WolframAlpha
-ln(x)= 0,56642 – 0,68845 i y ln(x) = -0,56642 + 0,68845 i
Por
tanto
x= e -0,56642 + 0,68845 i = e -0,56642 e + 0,68845 i
x =0,567554(cos0,68845 + i sen68845) donde 0,567554 es el módulo de x, y
0,68845 radianes = 39,45 deg el argumento.
También podríamos escribir la respuesta para el valor de x así:
x = 0,567554 e 0,68845i
4. Resolver para x
Solución:
La primera idea que se le viene a un ser humano, es que es una ecuación que no tiene solución. Pero, después de pensar un poco, esta respuesta se limitará un poco: ¿No tiene solución en los reales, y después se preguntará, Tendrá solución en los complejos?
Recordemos las famosa ecuaciones de Euler: e kπi = -1, k = 1, 2, 3, 4,……(1)…
Y e iθ = cos(θ) + i sen(θ) (2)
Si aplicamos la (2)
e2kπi = cos(2kπ) + i sen(2kπ) = 1 + 0i = 1 k = 1, 2, 3, 4, ….. (3)
Entonces el 1 de la ecuación del problema lo vamos a reemplazar por ecuación (3)
(e2kπi ) x = 5 Tomamos ln, a cada lado ln = logaritmo natural
e2kπi x = 5
2kπix ln(e) = 2kπix = ln (5) x = ln(5)/( 2kπi)
Multipliquemos la última expresión por i/i y el resultado será
x = -ln (5) i/(2kπ) ya que en el nuevo denominador i*i = -1, k = 1, 2, 3,...
5.La siguiente regla de los exponentes, no es general:
juan
Fernando Sanín E
juanfernando.sanin@gmail.com
