Agosto, 2025

 

Blog Algunos problemas de números complejos

1.    Logaritmo del complejo z = a + bi

Sea P(A, B)

El módulo de z es r = √(a² + b²), es decir la distancia positiva entre el origen (0, 0) y el punto P(A, B)

El argumento es θ, el ángulo, en sentido antihorario, que forma la recta OP con el eje real (que corresponde al eje x)

Figura (1) Módulo y argumento de un número complejo

Sabemos que el complejo z se puede escribir a + bi      o

z = re ^iθ = r (cosθ+ i senθ)     (1)

r = Módulo(z) 

Tomando ln a ambos lados en la expresión (1), obtenemos     ln(z) = lnr + ln(e ^{i θ}) = lnr + iθ

Ejemplo, encontremos el ln(i)

Ln(i) = ln(0 + 1i)= ln1 +  (π/2) i          θ = π/2       

ln(i) =  (π/2) i

 2.    Encontrar x, si x = i ⁱ

i = e ^ln(i)

ln(i) lo acabamos de encontrar. 

i = e ^i(π/2)

i ⁱ= (e ^i(π/2))ⁱ= e ^-1(π/2)

ya que i*i = -1, el módulo de i es 1 y el argumento de i es π/2

e ^-(π/2) es el valor de i^i y además, es real         e ^-(π/2) = 0,207879

 

2.        3. Encontrar el valor de x, si x es igual a:

Aquí el problema se reduce a encontrar W(-(π/2) i), lo cual en principio es difícil.

Los programas de matemáticas Mathlab y Derive, en sus últimas actualizaciones, tienen la manera de encontrar la función W, no sólo para reales, sino para complejos.

Mi Derive no tiene como calcular W para números complejos. En mi calculadora, hice un programa para calcular W para números reales. Es un poco antigua y no trabaja con complejos.

No obstante, si busco en Google, "calculo de W para números complejos online", me salen varias opciones. He escogido una que se llama "Wolfram Alpha" y cuya apariencia es como sigue:

 

Figura 2 Wolfram Alpha

Después de entrar la función LambertW(-(π/2), le doy la opción = ejecutar

En la parte de debajo de la pantalla me aparece:

Figura 3 Resultados de WolframAlpha

-ln(x)= 0,56642 – 0,68845 i       y    ln(x) = -0,56642 + 0,68845 i

Por tanto

x= e ^{-0,56642 + 0,68845 i} = e ^-0,56642 e ^{+ 0,68845 i}

x =0,567554(cos0,68845 + i sen68845)      donde 0,567554 es el módulo de x, y

0,68845 radianes = 39,45 deg el argumento.

También podríamos escribir la respuesta para el valor de x así:

x = 0,567554 e ^0,68845i

     4. Resolver para x

 1^x = 5

Solución:

La primera idea que se le viene a un ser humano, es que es una ecuación que no tiene solución. Pero, después de pensar un poco, esta respuesta se limitará un poco: ¿No tiene solución en los reales, y después se preguntará, Tendrá solución en los complejos?

Recordemos las famosa ecuaciones de Euler: e ^kπi = -1, k = 1, 2, 3, 4,……(1)…

Y              e ^iθ = cos(θ) + i sen(θ)                                                                       (2)

Si aplicamos la (2)

e^2kπi = cos(2kπ) + i sen(2kπ) = 1 + 0i = 1            k = 1, 2, 3, 4, …..                  (3)

Entonces el 1 de la ecuación del problema lo vamos a reemplazar por ecuación (3)

(e^2kπi ) ^x = 5                          Tomamos ln, a cada lado        ln = logaritmo natural

e^{2kπi x} = 5                         

2kπix ln(e) = 2kπix = ln (5)                       x = ln(5)/( 2kπi)

Multipliquemos la última expresión por i/i y el resultado será

x = -ln (5) i/(2kπ)           ya que en el nuevo denominador i*i = -1, k = 1, 2, 3,...

            5.La siguiente regla de los exponentes, no es general:

 

 Es válida para todos los casos, cuando la base "a" es un número real positivo. No es válida cuando la base "a" es un real negativo y uno de los exponentes b o c, reales, es un fraccionario, con denominador par.

 

juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

 

 

Jardín, julio 2025

 

Blog

1º Problema de geometría del espacio – 2º Problema de circunferencias 3º Problema de trigonometría

 

1.    Problema de geometría del espacio.

 Sean dos planos P y Q perpendiculares y dos cuadrados de lado igual a 8, que se intersecan en la línea común a los dos planos.

Solución:

 

Trazamos la recta RF y obtenemos M, punto medio de RF. Luego unimos a M y a N.

Por R, en el plano P, trazamos la recta perpendicular RT, por T trazamos la recta TF.

En el plano del triángulo RTF, trazamos la recta MH, paralela a RT. Por ser MH paralela RT también es perpendicular al plano Q y a la recta TF.

H igualmente, es el punto medio de TF

Por triángulos semejantes RTF y MHF, concluimos que MH es igual a 4 u.

Ahora analizamos el trapecio DTFE. (DT = 4 u y EF = 8), la recta MH, que es la línea recta que une los puntos medios de los lados no paralelos será igual a:

(4 + 8) /2 = 6

Figura 1 Solución del problema de geometría del espacio

Aplicamos Pitágoras en el triángulo rectángulo MHN, (Al ser MH Perpendicular al plano Q, también es perpendicular a todas las rectas contenidas en este plano Q, incluida NH)

MN² = NH² + HM² = 6² + 4² = 52   MN = √ (52) = 2√ (13) u

2.    Sean las circunferencias C1 y C2, de radios R y r arbitrarios, las cuales se intersecan en los puntos C y D. Trazamos una recta arbitraria ACF que corte las circunferencias C1 y C2 y otra BDF, que corte también, las circunferencias C1 y C2.

 Demostrar que la recta AB, cuerda de C1 es paralela a la recta EF, de C1

Figura 2 Circunferencias que se intersecan

Solución

Trazamos la recta CD

Por las leyes de los ángulos inscritos      < ABD = <x =arco ACD /2

 

<ACD = arco ABD /2 = <180 – x

Ver figura (3)

 

Figura (3)

Ahora, en la circunferencia C1, <DCE es suplementario del <ACD de C2, y por tanto, vale < x

Aplicando lo mismo en la circunferencia C1

<x = <DCE = arco DFE/2       y        <DFE = arco DCE = <180 – x

El ángulo <EFR es suplementario del <EFD y por tanto, <EFR = <x

Si observamos las rectas AB y EF, tienen dos ángulos correspondientes iguales.

 

<ABD = <EFR, lo cual implica que las rectas AB y EF son paralelas.

 

3.Problema de trigonometría

 Hallar la suma de sen²(1) + sen²(2) + sen²(3) .. .+sen²(45) + sen²(46)+....     sen²(89) + sen² (90)                 (1)

Ángulos en grados (deg)    

Solución:

Escribamos la suma S así:

S = sen²(1) + sen²(2) + sen²(3) +                          +sen²(45) +

      sen²(46) + sen²(47) + sen²(48)             + sen²(88) + sen²(89) + sen²(90)     

Recordemos que sen(x) = cos (90 - x)   y reemplacemos en la (2)

S = sen²(1) + sen²(2) + sen²(3) +                         sen²(44) +sen²(45) +

      cos²(44) + cos²(43) + cos²(42) +           cos²(2) +cos²(1) + sen²(90)

Recordando que sen²(x) + cos²(x) = 1

Organizando:

S = sen²(1) + cos²(1) + sen²(2) + cos²(2) +   + sen²(43) +cos²(43) + sen²(44) + cos²(44) + sen ²(45) + sen²(90)

S = 44*1 + sen ²(45 )+ sen²(90) = 44 + ½ + 1 = 45 + ½ = 91/2

 

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

 

 

Jardín, mayo 2, 2025

Factorial i

 

Factorial i = i!

La función gamma está definida para todos los números complejos excepto los enteros negativos y el cero".

Nota. Al final del blog haremos un breve repaso rápido de la función Gamma de Euler, para mostrar que el concepto de factorial, se extiende a los reales positivos y a los complejos, tal cual se indica en el dominio establecido.

z = a + bi

con tal que a sea un real >=0 (Veremos que esta condición, que aparece en muchos papers, parece ser falsa.

Recordemos que x =e ^ln(x)                                                              (4)

Ahora aplicando la fórmula general para la función Gamma

De acuerdo con la (4)                t = e ^Ln(t)              t ⁱ = e ^ln(t)i         (6)

Recordemos la formula general de los números complejos

e ^iθ = cos(θ) + i sen(θ)

e ^ln(t)i= cos(ln(t)) + isen(ln(t))

Reemplazamos (6) y (7) en la (5) e ^ln(t)i= cos(ln(t)) + i sen(ln(t))

Estas integrales son supremamente difíciles. Creo que no hay un método, (al menos conocido), por técnicas de integración, que permita resolverlas. Además, debemos recordar que el límite inferior es un límite de t, cuando t tiende a 0+ y el superior es cuando t crece tanto como queramos. Son integrales doblemente impropias.

Se pueden resolver por integración aproximada, pero para esto, es conveniente conocer las gráficas de las funciones f(t) = cos(ln(t)) e^t         y        g(t) = sen(ln(t)) et, lo cual también es difícil.

Veamos la primera:

f(t) = cos(ln(t)) e^t

 

t	Cos(ln(t)) e^-t
0,1	-0,60
0,2	-0,031
0,5	0,46
1,0	0,36
1,5	0,21
2,0	0,10

 

En p/2 la función es 0 y luego cada n p/2      n impar, vuelve a ser 0 y así hasta el infinito

La derivada de f(t)      f’(t) = -e ^-t [cox(ln(t)) + sen(t(t)) /t]

En f'(t)= 0, obtendríamos los puntos de máxima y mínima, pero la ecuación no tiene solución, ya que, cada n p/2,    n impar la función pasa de positivo a negativa y hay infinitos puntos críticos.

Derive nos da estas gráficas de f(t) y g(t)

Graficas de f(t) y g(t)

Que sea Derive el que nos resuelva las integrales impropias de forma aproximada, mostradas en (8)

Por tanto

 

i! = 0,493595 - 0,160414i

 

 

Repaso general de la función Gamma

 

La función gamma está definida para todos los números complejos, excepto los enteros negativos y el cero".        

Hacemos la integración por partes

u = t ^x-1            du = (x-1) t ^x-2 dt

dv = (e ^-t) dt        v = - e ^-t

Recordemos que 0 significa: t tiende a 0 e  ∞ significa que t crece todo lo que queramos.

En esas condiciones, la parte algebraica (sin integral) de (9) es un doble límite, más o menos complicado que resolviéndolo nos entrega el valor 0.

Γ (-3/2) = 2,363…….

Γ (1) = 0! = 1

Γ (3/2) = 0,886……..

Γ (5/2) = 1,329….

Γ (7/2) = 3,323….

Γ(i) = 0,493595 – 0,160414 i

 

Gráfica de la función Gamma

Grafica de la función Gamma de x

  

Factorial de números complejos z = a +bi

Para que exista z! se requiere que:

 

Para cualquier dupla (a, b), dibujar las gráficas de:

f(x) = e ^aln(t) b(cos(ln(t)) e ^-t

 

g(x) = e ^aln(t) b(sen(ln(t)) e ^-t

Sería bastante difícil, casi imposible, dibujarlas; habría que hacerlas calculando muchos puntos de cada una; incluso, muchos programas de maths podrían ser incapaces de dibujarlas.

Al final, la única condición que debe tener la dupla (a, b), para que exista (a+bi)! es que las dos integrales impropias de (12) sean convergentes.

En la literatura en la que he buscado dicen que la componente real a del número complejo, debe ser un entero >0 .

Recordar que el blog es hacer el cálculo de 0 + 1i,    con a = 0 y b = 1 y el factorial fue encontrado.

Veamos qué pasa con el complejo 1 + i         con la fórmula (13)

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

 

Blog julio 2025

julio 2025

 

Integral que incluye una función inversa, cuya función original tiene fórmula algebraica, pero la inversa no.

∫f^-1(x)dx

f tiene fórmula algebraica, trigonométrica, logarítmica, exponencial y f^-1puede tener fórmula o no. Si f^-1 tiene fórmula, el problema es inocuo, ya que la integral se integra con las reglas tradicionales de la integración. Pero si no tiene fórmula, caso función de Lambert W(x), que es la inversa de la función f(x) = xe^x.

Imagínese la función f(x) = xsen(x) definida en el dominio [0, 2] radianes

Figura (1) Gráfica de la función y = xsen(x)

en Dominio [0, 2] radianes. El máximo ocurre en x = 2

Esta función tiene inversa porque es monótona creciente, pero esta inversa, no tiene fórmula. Igual pasa con la función W(x) de Lambert, que, tiene inversa, pero esta no tiene fórmula. La función W(x) tiene dos ramas, una de ellas es:

Figura (2) Función de Lambert, ramas W-1 y Wo

Sólo trabajaremos con Wo

Dado un valor de x en el dominio de W(x), podemos calcular W(x) por medio de un algoritmo. También, se puede pedir que se lo calculen en línea o igualmente, hay calculadoras que tienen programado ese algoritmo.

Ej    x = 1    W(1) = 0,567143           x = 5     W(5) = 1,326725 Estos valores los conseguimos en línea o con una calculadora matemática moderna.

La función de Lambert es muy importante en la solución de ecuaciones exponenciales, mientras que la función R inversa de f(x) = xsen(x) no lo es, sólo la estamos utilizando a manera de ejemplo.

No obstante, R tiene dominio que es [0, 1,82] y rango que es [0,2],y además, es simétrica de xsen(x), respecto a la recta y = x

Volvamos a los que nos interesa:

∫f^-1(x)dx                                                   (1)

Sea y = f^-1(x)                                           (2)

f(f-1(x)) = x                     y = f^-1(x)     

De (2) se concluye que:             f(y)= x          derivando, con derivación implícita, tenemos

f’(y) dy/dx = 1                 dx = f’(y)dy               y reemplazando en la (1) obtenemos:

∫yf’(y)dy                                                           Esta integral la podemos solucionar por partes

u= y            dv = f’(y)dy

du = dy         v = f(y)

∫yf’(y)dy = yf(y) - ∫f(y)dy                                                          (4)

La fórmula (4) es la que permite hacer integraciones de f-1(x),utilizando la función directa.

Veamos un ejemplo

f(x) = x³                                                    f^-1(x) = x^1/3                       

Sea y = x^1/3                                    g(y) = y ^1/3

∫f^-1(x)dx = yf(y) - ∫f(y)dy = y y³ - ∫y³dy = y⁴ –y⁴/4 + C

= (3/4)y⁴ + C

Reemplacemos y por x ^1/3

∫f^-1(x)dx = (3/4) (x ^1/3) ⁴ + C = (3/4) x ^4/3 + C

Ahora, integremos directamente ∫f^-1(x)dx = ∫x ^1/3 dx = (3/4)x ^4/3 + C

Este ejemplo es inocuo, desde el punto de vista de la integración, pero comprueba la fórmula (4)

La fórmula (4) es poderosa, cuando f^-1(x), no tiene fórmula, pero f(x) si, como es el caso de la función de Lambert, en sus dos ramas W-1 y Wo

f(x) = xe^x                                                                    W(x) es la inversa de la función anterior, pero no tiene fórmula.

Que haríamos si tuviéramos que integrar 

Derivación de la función inversa

f(x) y f^-1(x)        mutuamente inversas

y = f^-1(x)

f(y) = f(f^-1(x)) = x                                                                             (7)

Derivando la ecuación (7), implícitamente respecto de x

f’(y)dy/dx = 1                                    dy/dx = 1/f’(y) = 1/ f’(f^-1(x))      (8)

La fórmula (8) es la fórmula general para la derivada de la función inversa.

Veamos un ejemplo:

f(x) = sen(x)        Dominio restringido a [-p/2, p/2]   y Rango [-1, 1]

La función inversa de sen(x) es f^-1(x) = arcsen(x) = sen^-1(x)   D = [-1, 1]      R = [-p/2, p/2]

La derivada de arcsen(x), de acuerdo con la fórmula (8)

 (arcsen(x))’ = 1/(cos(arcsen(x)))’

En el triángulo de la figura (3) veamos que es el ángulo θ = sen^-1(x)

Figura (3)

 

La derivada del seno es el coseno. Por tanto, con la fórmula (8)

En-1(x)

La derivada de sen^-1(x) será igual a 1/ cos(sen^-1(x))

Es decir:

arcsen(x)’ = 1/√(1 – x²)

 

Juan Fernando Sanín E

No se ha publicado definitivamente en mayo 2 2025