Blog solución de ecuaciones de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, para ecuaciones diferenciales exactas, convertibles a exactas y homogéneas

 Medellín, diciembre de 2025

1.    1.Ecuaciones diferenciales exactas

 

Sea la ecuación diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, tal que My = Nx

La solución a esta ecuación diferencial exacta es f (x, y) = C

Si la solución a la ecuación diferencial es f (x, y) = C, el diferencial exacto de f (x, y) es:

Veamos cómo funciona esto en la práctica.

 

Ejemplo 1

(2x - 1) dx + (3y + 7) dy = 0

M = 2x – 1

N = 3y + 7

Mx = 0

Ny = 0     Como My = Nx la ecuación diferencial es exacta y tiene solución

f (x, y) = C

utilizamos M = fx          para encontrar una f apropiada, hacemos lo siguiente:

f (x, y) = ∫Mdx = ∫ (2x – 1) dx = x² –x +g(y)

Derivemos la función f parcialmente respecto a y

fy = g’(y) = N = 3y +7                 dg(y) = (3y + 7) dy

g(y) = (3/2) y² + 7y

f (x, y) = C      es        x² – x + (3/2) y² + 7 = C

 

Solución final

x² – x + (3/2) y² = C                  ya que C – 7 es una constante

Ejemplo 2

(x + y)² dx = (2xy + x² -1) dy         y     y(1) = 1

M = (x + y)²

N = (2xy + x² – 1)

My = 2(x + y) *1 = 2(x + y)

Nx = 2y + 2x = 2(x + y)                                  My = Nx          Es exacta.

f (x, y) = C                  fy = N = (2xy + x2 – 1)         f (x, y) = ∫ (2xy + x² – 1) dy

f (x, y) = 2xy²/2 + x² y – y + g(x)

fx = y² + 2xy + g’(x) = M = (x + y)² = x² +2xy + y²

fx = y² + 2xy + g’(x) = = x² +2xy + y²

g’(x) = x²

dg =x² dx       Integrando obtenemos                                         g(x) = x³/3

La solución es:

xy² + x² y – y + x³/x = C

Haciendo y (1) = 1

y = 1

x + x² – 1 + x³/3 = C                                    x + x² + x³/3 = C                                   

 

1.    2.Ecuaciones transformables a exactas

Muchas ED que no son exactas, pueden transformarse en exactas, utilizando un factor integrante FI

Supongamos que ese factor es u (x, y) y convierte la ecuación inexacta en una exacta.

Hemos utilizado y seguiremos utilizando la siguiente notación.

Teniendo en cuenta la notación anterior, la ecuación diferencial

Mdx + Ndy = 0                                               (1)

inexacta, se convierte en exacta si se hace lo siguiente:

u (x, y) M (x, y) dx + u (x, y) N (x, y) dy = 0            (2)   

será exacta. Simplificando la notación, lo que tenemos es:

uMdx + uNdx = 0   y, por tanto

uM = M1           uN = N1                                (3)

Tomando las derivadas parciales con respecto a y, y a x, respectivamente de M1 y N1:

d(uM)/dy          y       d(uN)/dx

uMy + u_yM = uNx + u_xN             u (My – Nx) = u_xN - u_yM           (4)

Que implica que:

u (My – Nx) = u_xN - u_yM                                                            (5)

Normalmente es muy difícil encontrar esa función u (x, y) para halla el FI, pero los matemáticos han determinado que, si eventualmente u (x, y) es función de una sola variable u(x) o u(y), la cuestión, aunque se des universaliza, es de gran utilidad y permite ser encontrado fácilmente.

Supongamos que u = u(x)                                                       (6)

La ecuación (5) se convierte en

u (My – Nx) = u_xN               ya que u_y = 0      además u_x = du/dx

du/u = [(My – Nx) /N]dx e integrando a ambos lados obtenemos

ln(u) = ∫ [(My – Nx) /N]dx

u(x) = FI = e^{∫(My – Nx) /N]dx}

Lo cual implica que (My – Nx) /N es sólo función de x           (7)

Si hubiéramos partido de u (x, y) = u(y) y siguiéramos el mismo procedimiento, obtendríamos lo siguiente

u(y) = FI = e^{∫ (Nx - My) /M]dy}

Lo cual implica que (Nx – My) /M es sólo función de y         (8)

Ejemplo

(2x³ + y) dx – xdy = 0

M = 2x³ +y

My = 1

N = -x

Nx = -1

La ecuación no es exacta

Simplifiquemos las expresiones:

(My – Nx) /N = (1 –(-1)) /(-x) = -2/x

(Nx – My) /M = 2/ (2x3 + y) tiene x e y, y no se puede utilizar como FI; utilizaremos

(My – Nx) / N= -2/x para obtener u

u = e ^∫(-2/x)dx = e ^-2lnx = x ^-2 = 1/x²

M1 = (1/x²) (2x3 + y) = 2x + y/x²

N1 = (-x) /x² = -1/x

Voy a encontrar f (x, y) partiendo de N1 (Trato de comenzar la solución con la integral más directa y sencilla.

f (x, y) = ∫(-1/x) dy = -y/x + g(x)    porque integré respecto a y 

fx = y/x² + g’(x) y la igualamos a M1 = 2x + y/x²    

y/x² + g’(x) = 2x + y/x²     g’(x) = 2x         dg = 2xdx       e integrando obtenemos

g(x) = x²

f (x, y) = -y/x + x² = C 

-y +x³ = Cx                                    y la solución es         y = x3 +Cx     

 

Ejercicio 2 de ecuaciones de la forma Mdx + Ndy= 0, que no son exactas.

(recordar M = M (x, y)         N = N (x, y)

y²cos(x)+(4+5ysen(x)) dy = 0

M = y²cos(x)

My = 2ycos(x)

N = 4 + 5ysen(x)

Nx = 5ycos(x)

My diferente a Nx, luego no es exacta, pero podría ser transformable en exacta.

(My – Nx) /N =(2ycos(x) – 5ycos(x)/ (4 + 5ysen(x)) = - 3ycos(x)/ (4 + 5ysen(x) no es función de una sola variable y por tanto no sirve para este problema.

(Nx – My) / M = 3ycos(x)/(y²cos(x)) = 3/y     función sólo de y, y sirve para transformar la ecuación diferencial no exacta, en exacta

FI = e ^∫(3/y)dy= e ^3lny= y³

M1 = y⁵cos(x)

N1 = (4+ 5ysen(x)) y³ = 4y³ + 5y⁴sen(x)

 Obtenemos f (x, y) = C a partir deM1

f (x, y) = C= ∫ y⁵cos(x)dx = y⁵sen(x) + g(y)    La constante es una función de y

fy = N1

5y⁴sen(x) + g’(y) = 4y³ + 5y⁴sen(x)

g’(y) = 4y³               dg = 4y³dy          integrando        g(y) = y⁴

f (x, y) = C = y⁵sen(x) + y⁴   

La solución de la ecuación será:           y⁵sen(x) + y⁴ = C

Ejercicios:

Resolver

x(dx/dy) = 2xe^x – y + 6x²

(4xy³ + 3y²) dx + (6x²y² + 6xy) dy

(x² - y²) dx + (x² – 2xy) dy

6xydx + (4y + 9x²)dy

(x + y +2) dx + dy

(5x² - xy + x³sen(x)) dx + (x² + x³y) dy

3.    Ecuaciones homogéneas

Una ecuación diferencial de la forma M (x, y) dx +N (x, y) dy= 0   (1)

(o simplemente Mdx + Ndy = 0

Es homogénea si y solo si

M (tx, ty) = tⁿ M (x, y)

Y

N (tx, ty) = tⁿ N (x, y)

Para cualquier n real.

La solución, normalmente, se logra haciendo el cambio de variable

y = u (x, y) x        o simplemente y = ux y la ecuación diferencial original se resuelve por separación de variables.

Si los integrales resultantes son muy laboriosos o difíciles, se intenta el cambio

x = u (x, y) y

 

Ejemplo

x(dy/dx) = (y + xe ^(y/x))

Solución

Le damos la forma a ecuación diferencial

(y + xe ^(y/x)) dx – xdy = 0

M (x, y) = (y + xe ^(y/x))

M (xt, yt) = (yt + xte ^(y/x) = t (y + xe ^(y/x) = tM (x, y)

N (x, y) = -x

N (xt, yt) = -xt = -tN (x, y)

Se cumple la definición con t = 1

Cambiemos x por xt          y      y por yt

(yt + xte ^(yt/xt)) dx – xtdy = 0

t ((y + xe ^(yt/xt)) dx – xdy) = 0

Eliminamos t y nos queda la ecuación diferencial original y hacemos el cambio

y = ux;                    dy = udx + xdu

y = ux                     u = y/x

(ux + xe ^(y/x)) dx – x (udx + xdu) = 0

Podemos cancelar la x

(u + e ^(y/x)) dx – (udx + xdu) = 0

(u + e ^u)) dx – (udx + xdu) = 0

e^udx = xdu                                                   du/e^u = dx/x

∫e^-u du = ∫dx/x                -e ^-u = ln(x) + C

La solución será:

-e -^y/x = ln(x) + C

Ejemplo 2

(2√(xy) - y) dx -xdy = 0

Sol

M (x, y) = (2√(xy) - y)

M (xt, yt) = (2t√(xy) - yt) = = t(2√(xy) – y) = t M (x, y)

N (x, y) = -x

N (xt, yt) = -xt = t(-x) = t N (x, y)

Por tanto se trata de una ecuación diferencial homogénea

y = ux

(2√(xux) – ux) dx – x (xdu + udx) = 0

(2x√(u) – ux) dx – x (xdu + udx) = 0

Podemos eliminar x

(2√(u) – u) dx –(xdu + udx) = 0         podemos agrupar por dx y du    

(2√(u) – u - u) dx – xdu = 0                     du/ (2√(u) – 2u) = dx/x

(1/2) du/(√(u) – u) = dx/x

Resolviendo las integrales a cada lado

-ln (√u -1) = ln(x) + lnC

ln ((√u -1) + lnCx = 0

ln ((√u -1)Cx) = 0

(√u - 1) Cx = 1

(√(y/x) -1)Cx = 1

 

√(y/x) = 1/Cx +1            elevando al cuadrado

y/x = 1/C²x² +2/(Cx) +1

y = x +x/(C²x²) + 2/C              C = 1/C₁

 

                                        y = x + 2C₁ + C₁²/x

 

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas

(x – y) dx + xdy = 0

dy/dx = y/x + x/y

(y² + xy) dx + x²dy = 0

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

Problema de Basilea e integral de Gauss

 Jardín,diciembre2025

1.    Problema de Basilea

 

No siempre se ha sabido cuando vale la suma infinita:

∑1/n²           n en el intervalo [0, ∞)

Durante muchos años los matemáticos trabajaron en este problema. Primero se logró demostrar que era una serie convergente, luego fueron encontrando valores aproximados y cotas superiores, pero el primero en encontrar el valor exacto fue Gauss, a finales del siglo XVIII

El método que vamos a mostrar fue el primero, de los muchos que Gauss, logró.

Sea lal serie de Maclaurin para sen(x):

sen(x) = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +……………………………….hasta infinito     (1)

Ya en la época de Gauss se sabía que la serie anterior representaba a sen(x) y que era convergente.

(De hecho, todas las tablas de las funciones trigonométricas, se sacaron de las series que representaban a sen(x), cos(x) y tan(x)     con x en radianes-

La serie (1) es igual a 0 para x en los siguientes valores: {0, ±π, ±2π, ±3π, ±4π,     ±nπ, ….(2)

 

Recorderis:

Sea la ecuación de segundo grado          x² – x -6 = 0

La resolvemos con la ecuación general de segundo grado:

x = (-(-1) ± √ ((-1)² – 4*1*(-6))/(2*1)= (1 ± √(1 +24))/2 = (1 ± 5)/2         x1= 3    x2 = -2

La ecuación de segundo grado presentada, se puede factorizar:     (x –(-2)) (x – 3)

(x + 2) (x – 3)

Por lo anterior y teniendo en cuenta (2)     sen(x) = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +…… se puede factorizar así:

Cx (x - π) (x + π) (x - 2π) (x + 2π) (x - 3π) (x + 3π) (x - 4π) (x + 4π) (x - 5π) (x + 5π)**……….

Cx (x² – π²) (x² – 4π²) (x² – 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²)*………………

x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! +………. =Cx (x² – π²) (x² – 4π²) (x² – 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²) *

Podemos cancelar x

1 – x²/3! + x⁴/5! – x⁶/7! +………. =C (x² – π²) (x² – 4π²) (x² – 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²) *…(3)

Para x = 0

1 = C (– π²) (– 4π²) (– 9π²) (– 16π²) (– 25π²)*……                                     (4)

Dividamos la (3) por 1. De acuerdo con la igualdad (4)

[C (x² – π²) (x² – 4π²) (x² – 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²)*…]/ [C(– π²) (– 4π²) (– 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²)*……]

Cancelamos C y dividimos ordenadamente por (– π²) (– 4π²) (– 9π²) (x² – 16π²) (x² – 25π²)*……

Obtenemos

(1 – x²/ π²) (1 – x²/ (4π²)) (1 – x²/ (9π²)) (1 – x²/ (16π²)) (1 – x²/ (25π²)) ********

La expresión anterior es sen(x)/x = 1 – x²/3! + x⁴/5! – x⁶/7! +……

= (1 – x²/ π²) (1 – x²/ (4π²)) (1 – x²/ (9π²)) (1 – x²/ (16π²)) (1 – x²/ (25π²)) ********        (5)

La igualdad (5) nos presenta el mismo polinomio, expresado de manera diferente:

En la (5), igualemos los coeficientes de x²

–1/3! = - (1/ π²) - (1/ (4π²)) - (1/ (9π²⁾) - (1/ (16π²⁾) - (1/ (25π²⁾) - (1/ (36π²⁾) -……….

-1/3! = ⁽1/ π²⁾ ( -1 – ¼ - 1/9 – 1/16 – 1/25 – 1/36-……………..

π²/6 = 1 + 1/2² +1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² ………

Con lo cual queda demostrado que:

∑1/n²                    n en el intervalo [0, ∞) = π²/6

Esta demostración no es muy rigurosa, inclusive hay partes contradictorias:

C debería ser 1 y no lo es

En la (4) se ve que C debe ser algo que tiende a 0, para que 0x∞ tenga límite real y no se demuestra.

Euler encontró otras soluciones, también con deficiencia en el rigor. Matemáticos de los siglos XIX y XX ya si resolvieron el problema con un rigor acorde al siglo XX.

Otra solución de Euler fue la siguiente:

sen(πx) = πx – (πx) ³/3! +(πx) ⁵/5! - (πx) ⁷/7! + (πx)⁹/9! ……..     (1)

Vemos que las soluciones x, de este polinomio son las x que pertenecen al conjunto:

{0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5,…..}                                                              (2)

La (1) se puede factorizar así:

sen(πx) = πx (x +1) (x - 1) (x/2 + 1) (x/2 - 1) (x/3 + 1) (x/3 - 3) (x /4+ 4) (x/4 +1) **********

sen(πx) = πx (1 - x²) (1 - x²/4) (1 - x²/9) (1 - x²/16) (1 - x²/25) (1 - x²/36) ******        (3)

Vemos que, para todas las x del conjunto, que hemos llamado (2), el lado derecho es igual a 0.

Si los polinomios (1) y (3) son iguales, los coeficientes de las diferentes potencias de x, también lo serán:

Coeficiente de x³

De la (1)                – (π) ³/3!                                                                                     (4)

De la (3)      Tomemos el primer factor y lo multiplicamos por el resto de los factores uno a uno:

π [-1 – 1/4 -1/9 – 1/16 – 1/25 ......]                                             (5)

Igualando los coeficientes de x3 obtenemos:

(π) ³/3! = π [1 + 1/4 +1/9 + 1/16 + 1/25+...... ]

Simplificando:

π ²/6 = 1 + 1/4 +1/9 + 1/16 + 1/25                                

Con lo cual queda demostrado.

2.Integral de Gauss

 

Fig. 1, dA en coordenadas cartesianas y en coordenadas polares

Antes de iniciar el proceso de integración, observemos lo: siguiente: En el lado izquierdo de la figura 1 tengo una superficie z = f(x, y), cuya proyección en el plano xy se muestra. A la derecha, tenemos la misma superficie, en el triedro xyz, pero la tenemos escrita en coordenadas cilíndricas, lo cual se consigue cambiando x e y por x = Rcosθ            y = Rsenθ

El volumen debajo de la superficie, hasta el plano xy, se obtiene integrando las expresiones

dv = zdA = zdxdy    en los límites apropiados x e y

dv = zRdθdR             en los límites apropiados

Figura 2 de z = e ^{–(x2 + y2})   Campana de Gauss en 3D

La ecuación (4) en coordenadas polares (Cilíndricas), queda así:

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Resolución de cúbicas por el método de Cardano y problema de números imaginarios

 Medellín, septiembre 2025

Blog: Resolución de cúbicas por el método de Cardano y problema de números imaginarios. 

 

1. Resolución de ecuaciones cúbicas, Método de Cardano

Cualquier cúbica que nos encontremos, la debemos transformar a la forma (2), con el cambio de variable indicado, para poder resolverla por el método de Cardano.

z = u + v                (u + v)³ = u³ + v³ +3uv(u + v)

(u + v)³ - u³ - v³ -3uv (u + v) = 0       que comparándola con z³ + pz + q = 0 obtenemos

u³ + v₃ = -q                                                           (3)

3uv = -p           uv = -p/3                                       (4)

Donde la solución z = u + v           Introducimos un cambio en la ecuación (4)

u³v³ = -p³/27                          (5)         y resolvemos el sistema:

u³ + v₃ = -q                                                            (3)

u³v³ = -p³/27                                                          (5)

Al transformar (4) en (5), hemos introducido varias raíces extrañas a la solución de la cúbica. 6 raíces para ser más precisos, que debemos evitarlas al encontrar la solución final.

Si llamamos w1 y w2 las raíces cubicas imaginaria cúbica de 1, vemos

“x³ - 1 = 0      (x – 1)(x² + x +1) “

Las raíces cubicas imaginarias de 1 son

w1 = (-1/2 + √ (-3)) /2       w2 = (-1/2 - √ (-3)) /2      

Las soluciones a la ecuación:

t² + qt – p³/27 = 0         (6)               cuyas raíces son u³ y v³

t = (-q ±√ (q² + 4p³/27) /2 = (-q ±√D)/2        D = discriminante  = q² + 4p³/27  (7)

Es fácil probarlo, basta resolverla y aplicar las relaciones que unen a u³, v³, p y q

u³ = (-q + √D) /2               (8)

v³ = (-q - √D) /2                 (9)

(Si se suma u³ + v³ obtenemos –q, si se multiplica u³v³ obtenemos –p³/27

Por tanto:

u = [(-q +√D) /2]^ (1/3)      (10)

v = [(-q -√D) /2]^ (1/3)        (11)

Pero aquí aparecen raíces extrañas:

Como uv = -p/3   uv debe ser un número racional, sólo aceptaremos 3 respuestas que satisfagan esta última condición. Primero encontramos la solución real y luego factorizamos el resto de la cúbica, por tanteo, y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante, la cual nos dará las dos soluciones adicionales.

Las anteriores ecuaciones (10) y (11), necesitan varios comentarios:

1.    Si D>= 0, (positivo o 0), no hay necesidad de utilizar números complejos para obtener los valores de z, ya que z = u + v, y x = z - b/ (3a).

2.    Si D < 0 será necesario utilizar números complejos y también, el teorema De Moivre. No obstante, el resultado final, será 3 soluciones reales.

3.    Si D >=0, obtenemos la x real, como se ha explicado antes, y con ese valor se factoriza, por tanteo, sumamente fácil, la ecuación cúbica inicia. Se resuelve esta ecuación y el resultado final será el valor de las dos soluciones complejas.

4.    Cuando D>= 0, la solución son una real y dos complejas.

Ejemplo 1

4x³ -12x² + 5x +6 = 0        a = 4, b = -12, c = 5 y d= 6

El primer cambio de variable es x = z – b/(3a) = z – (-12)/(3*4) = z + 1

La ecuación se reduce a:   x³ + px + q = 0            p = -1,75      q = 0,75

El discriminante D = q² + 4p³/27 = -0,231481481

El resultado será tres soluciones reales.

 

D  discriminante	q^2 +4p^3/27
D	-0,231481481	<0	Si D>0 se pasa la hoja 2
Modulo D	0,231481481	a	bi
u3	(-q+i√abs(D))/2	-0,375	0,24056261
v3	(-q-i√abs(D))/2	-0,375	-0,24056261
u	[(-q+i√abs(D))/2]^(1/3)	0,50001398	0,57733816
v	[(-q-i√abs(D))/2]^(1/3)	0,50001398	-0,57733816
	z	1,00002796
x	2,000027964

x = 2

En el siguiente cuadro, aplicamos el teorema de Moivre, para sacar la raíz cúbica de u³ y v³

a	bi	abs	teta rad 1*  hay  que ubicar  el cuadrante  para poder  encontrarlo	calculo  real de  teta   radianes	abs^(1/3)	teta deg	teta/3
-0,375	0,240	0,445528	0,570	2,571	0,763	147,319	0,857
-0,375	-0,240	0,445528	2,571	2,571	0,763	147,319	0,857
0,500	0,577
0,500	-0,577

 

Nota: Al determinar el θ de cada complejo, hay que ubicarlo en el cuadrante respectivo, ya que arcsen nos entrega un resultado entre –π/2 y π /2, arccos entre 0 y π y arctan entre – π /2 y π /2. En la hoja de Excel hay que modificar ese cálculo para cada caso en particular.

 

Siguiendo con el ejercicio vamos a factorizar la cúbica inicial, ya teniendo un valor real x = 2

 

4x³ -12x² + 5x +6 = 0

x³ -3x² + (5/4) x +6/4 = 0

(x – 2) (x²………….

Para obtener -3x², el próximo término debe ser –x; y para obtener el termino independiente sigue -3/4

(x – 2) (x² – x - 3/4) = 0      chequeemos para x       -3/4 +2 = 5/4 la factorización quedó resuelta. Ahora resolvamos la ecuación       x² – x - ¾ = 0, fórmula general obtenemos x₂ = 3/2 y x₃ = -1/2

 

Nota: Si el discriminante mencionado antes es menor que 0, el resultado son tres raíces reales, aunque para descubrirlas hay que utilizar algebra de complejos y el teorema de Moivre.

 

Ejercicio 2

 

x³ – 15x -126 = 0

 

En este caso ya nos la entregan en forma reducida.

a =1

b=0

c=-15

d = -126

 

x = u + v         p = -15 y q = -126   (ya nos entregan p y q)

Discriminante D = q² + 4p³/27 = (-126)² + 4(-15)³/27 = 15376 >0 tiene una raiz real y dos complejas.

 

u³ = (-q+√(abs(D))) /2             ABS(D) = valor absoluto de D, en este caso = D

v³ = (-q-√(abs(D)))/2

u = 5

v = 1

x = u + v = 6     y con este dato factorizamos la ecuación original

 

x³ – 15x -126 = 0

(x – 6)(x² +6x+21) = 0

x² +6x+21 = 0

Con esta ecuación obtenemos las otras raíces:

 

x = (-6±√(36-4*21))/2 = (-6±√(-48))/2 = (-6±4√(-3))/2 = -3±2√3 i

 

Se proponen como ejercicios

 

x³-15x²-33x+847 = 0                      R_ 7, 11, 11

 

2x3+3x2+3x+1 = 0                         R_ -1/2, -1/2 ±√3 i/2

     2.Problema de imaginarios

 

Encontrar z, si :

z² = i + z   o    z²- i – z = 0                  Resolvemos esta ecuación de segundo grado

z =(1±√(1+4i))/2

Apliquemos el teorema de Moivre a √(1+4i)

Complejo 1 + 4i          Módulo = √17        θ = arctan(4/1) = 75,963757 deg

(1+4i) =(√17)) (cos75,963757 +i sen75,963757)

√(1+4i) =(√17^(1/2)) (cos(75,963757 + 2πk/2) +i sen (75,963757 + 2πk/2)

1,60048429 + 1,24962064 i

z = 1 ± (1,60048429 + 1,24962064 i)

z = 2,60048429 + 1,24962064 i

z = -0,60048429 - 1,24962064 i

 

    3.Cardano y los números imaginarios.

 

Gerolamo Cardano

Matemático y Médico (1501 Pavía, ducado de Milán, 1576 Roma, actual Italia)

Cardano nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía, ducado de Milán y murió en Roma el 21 de septiembre de 1576. Fue hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria. Su padre matemático, lo que hizo que Leonardo da Vinci lo consultara en temas de Geometría. Fazio dio clases de Geometría en la Universidad de Pavia.

Cardano comenzó como asistente de su padre, que le enseñó Matemática. Cardano ingresó a la Universidad de Pavia a estudiar medicina, estudios que luego debió continuar en la Universidad de Padua por la guerra. Cardano se graduó de médico en 1525.

Una vez acabados sus estudios ejerció la medicina en Milán, pero debido a su mala reputación fue rechazado continuamente por el colegio de médicos.

Buscando un cambio en su suerte, se mudó a Milán, pero te fue peor y entró en la pobreza. En 1539, Cardano publicó sus dos primeros libros. Uno de ellos fue La práctica de Aritmética y las mediciones simples. Este fue el comienzo de una prolífica carrera literaria sobre Medicina, Filosofía, Astronomía, Teología, y Matemáticas.

En ese año Cardano conociò a Tartaglia, que se había hecho famoso por ganar un duelo matemático, al resolver ecuaciones de tercer grado, y trató de que te explicara el método. Tartaglia aceptó, con la promesa bajo juramento de Cardano, de que no iba a publicarlo hasta que el mismo Tartaglia lo publicara. Durante los siguientes 6 años Cardano trabajó en las ecuaciones de tercer y cuarto grado sin ningún resultado En 1545 publica su obra más importante, Ars Magna. En esta obra da los métodos de resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. Hoy día sabemos que los resultados publicados y muchas de las ideas contenidos no eran suyos.

Su Ars Magna sin embargo tuvo una influencia en todos los matemáticos posteriores. Para resolver cúbicas se requiere de conocimiento de números complejos, que, hasta la fecha, nadie los había mencionado. No sólo esto, se requería conocer el teorema de Moivre, quien nació varios siglos después, lo cual indica que Cardano y Tartalglia, intuitivamente descubrieron los números imaginarios y complejos

Aunque, en varias ocasiones, Cardano había sido profesor de matemáticas de las universidades de Milán, Pavia y Bolonia, teniendo que dimitir de todas ellas por algún escándalo. Al regresar de Escocia era un importante profesor de Medicina en la Universidad de Pavia y con muchos pacientes adinerados, se transformó en un hombre rico y afortunado.

También publicó Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre teoría de probabilidades; el 20 de septiembre de 1576, se suicidó en Roma.

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com

Medellín Colombia