Problemas seleccionados de cálculo Integral infinita y repaso de la función W de Lambert

 

Medellín, octubre 2024

 

Problemas seleccionados de cálculo

Integral infinita y repaso de la función W de Lambert

 

1.    1. Integral de un integrando infinito

2.    Algunas funciones discretas de x

Función y = ⎿x⏌= piso(x); y = ⎾x⏋ = cielo(x), función parte fraccionaria o decimal de x; y = parte decimal (x) = {x}

Función y = piso(x) = ⎿x⏌            y es igual al menor entero mayor que x

Ejemplo            y = piso (2,8) = 2,         y = Piso(-101,3) = -102    y = piso(-0,7) = -1

Figura 1    Función Piso de x

Función y = techo(x) = cielo(x) = ceiling(x) =⎾x⏋         y es igual al mayor entero mayor que x

 Figura 2, función techo de x (ceiling(x)

 

⎾3,4⏋= 4

 ⎾-2,4⏋= -2

 ⎾-0,7⏋= 0

 ⎾-100,6⏋= -100

 Función parte decimal     y = {x} = x - ⎿x⏌

Ej. {3,5} = 3,5 – piso(3,5) = 3,5 – 3 = 0,5

{-3,6} = -3,6 - piso(-3,6) = -3,6 –(- 4) = 0,4

{-1,3} = -1,3- piso(-1,3) = -1,3 –(- 2) = 0,7

Resolvamos una ecuación que involucre una de estas 3 funciones

⎾x⏋/⎿x⏌ + 2x = 8                                          (1)   Alto grado de dificultad!

 Lo primero que observamos es que ⎿x⏌ debe ser  ≠0       y   además    x ∉(0, 1)

Veamos qué pasa cuando x<0

Si x es negativo, k<= x <= k+1   y la ecuación (1) se convertirá en (k+1)/k + 2x = 8

(k +1/k) > 0 y tiende a 1, cuando x tiende a -∞  (Es positivo, porque ambos k +1 y k son negativos.

Veamos qué pasa con la ecuación (1) cuando x = -4,3      ⎾x⏋/⎿x⏌ = (k+1)/k =

( -4+1)/(-5) = (-3)/(-5) = 3/5

La ecuación queda 2x = 8 – 3/5 = 37/5         x = 3,7; lo que es absurdo, porque habíamos partido de x = -4,3

Por lo anterior excluimos todos los reales negativos, de la solución de x.

Para encontrar una solución, suponemos que x es un real positivo >1, tal que

k <= x <= k + 1 y la ecuación original         (2)

(k+1)/k + 2x = 8     de la cual deducimos que x = (7k -1) / (2k)         (3)

(3) en (2)

k ⦤ (7k -1) / (2k) ⦤k +1                (4

La ecuación (3) nos provee dos desigualdades, que deben ser satisfechas por los valores de k que sean solución

2k² – 7k +1 ⦤0                      (5)        y            7k – 1 - 2k² -2k ⦤ 0                              (6)

K² – (7/2) k + ½ ⦤0            (5a)       y                k² –(5/2)k + ½ ⦥ 0                              (6a)

Resolviendo y factorizando las ecuaciones (5a) y (6a) con la ayuda de Derive, obtenemos:

La (5a)     (k – 0,142)(k – 3,3508)       que es negativa para k ∈[0,142, 3,3508]

La (6a)     (k – 0,2192)(k – 2,2808)     que es positiva para k∈[-∞, 0,2192]  cuyo intervalo no cumple las condiciones identificadas anteriormente.

Igualmente (6a) es positiva en el intervalo k∈ (2,2808, ∞)

Los enteros que son intersección de soluciones a (5a) y (6a) son la solución para k

Sólo k = 3 sirve como solución. Ahora encontremos x en la ecuación original

4/3 + 2x = 8                      x = (8 – 1,33333…)/2        x = 3,3333333.. = 10/3

Remplacemos en la ecuación original:

4/3 + 2(10/3) = 24/3 = 8

 

3.    Problema de solución de una ecuación, aplicando la función de Lambert.

 x^x =12

Refresquemos el concepto de la función de W de Lambert. (Hay varios blogs del autor Maths, dedicados a esta función)

La función xe^x tiene un dominio (-∞, ∞) = Reales     rango = [-1/e, ∞)

No es biyectiva, en el sentido que para dos valores diferentes de x, podemos obtener un mismo valor de y

Figura 3           gráfico de f(x) = xe^x

Estrictamente f(x) no tiene una inversa única, pero dada la importancia de la función se ha obtenido una inversa para la parte decreciente, que hemos llamado W-1y otra para la parte creciente, que hemos llamado Wo

Es obvio que no es posible encontrar fórmulas algebraicas para las funciones Wo y W-1, ya que no es posible despejar x en la ecuación y = xe^x

 

Figura 4, funciones Wo y W-1

 

Limitemonos a la rama principal de Wo

 

. Cuyo dominio va des [-1/e, ∞) y cuyo rango va de [-1, ∞)

 

Aunque la inversa de xe^x no tiene fórmula, pero hay algoritmos que nos permiten encontrar valores de específicos de W.

 

Si tenemos un valor específico de xe^x, digamos 12,5 podemos encontrar el valor de x que produjo ese valor, simplemente hallando W(12,5) = 1.889445

 

Lo obtuve de una calculadora libre en la red, que tiene la función W y se encuentra en el siguiente link:

 

https://www.had2know.org/academics/lambert-w-function-calculator.html

 

Problema:

 

Resolver la ecuación x^x = 12 , utilizando el método de Lambert

 

x^x = 12 →     x lnx = ln12     todavía no se parece a Lambert

 

Cambiando x por e ^lnx

 

e^lnx lnx = lnx e ^lnx = ln12;  esto si se parece a la aplicación de Lambert

 

Sea u = lnx                        ue^u = ln12          y

 

W(ue^u) = u = W(ln12)

 

Ln12 = 2,484991

 

W(2,484991) = u     Cómo hallamos el valor de W(2,484991)? R_ Con el link que indiqué anteriormente:

 

u = 0,9556415 = lnx

 

e ^0,9556415 = x        x = 2,600338

 

Verifiquemos la respuesta:

 

2,600338 ^2,600338 = 12

 

Otro ejemplo

 

Resolver por medio de la inversa W de Lambert, la ecuación x + e^x = 5

 

Para que se parezca a una ecuación que se pueda resolver por Lambert hacemos los siguientes cambios.

e^x = 5 - x

1= (5 .-  x) e ^-x

 e⁵ = (5 – x) e ^-x e⁵

(5 – x) e^{5 - x} = e⁵

u = 5 - x

ue^u = e⁵

W(ue^u)  = u = W(e⁵)

W(e⁵) = 3,693441      Con el link sugerido.

u = 5 – x = 3,693441                x = 5 - 3,693441 = 1,306559

Reemplacemos en la ecuación:

1,306559 + e ^1,306559 = 5,000001      la millonésima se debe a los decimales, pero en realidad no existe,

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com