Curvatura

Jardín, octubre de 2024

 

Curvatura en 2D y 3D

 

Definición

Si en el plano 2D, tenemos una curva C, tal como se indica en la figura 1; sea P un punto de esa curva, cuya tangente hace un ángulo θ (radianes) con el eje x y et el vector tangente unitario a C, en P, se define la curvatura de C en P así:

Figura 1

k(x) = det/ds                 curvatura de C en el punto P       (1)

La curvatura escalar será:                          k = │k(x)│= │det/ds│

Si R(t) es el vector posición de un punto P, que recorre una curva C (2D o 3D), en el caso de que la variable t sea el tiempo, R’(t) es el vector velocidad del punto P y este vector tiene la dirección de et (vector tangente unitario), que ahora estará en un plano, que no tiene que ser plano xy. Ese plano se llama plano osculador. Más adelante describiremos como se determina ese plano.

La definición se repite para 3D:         k(t) = det/ds     et y ds en el plano osculador.

Figura 2

k = det/ds       Curvatura de una curva 2D o 3D, en un punto P es la razón de cambio del vector tangente unitario et, respecto del cambio en el arco s

k = det/ds = (det/dt) (dt/ds)                                                                  (2)

Si t fuese la variable tiempo, ds/dt sería la rapidez v de la partícula, entonces, ds/dt = v, y es igual a R’(t).       Aunque la variable t no sea el tiempo, esta relación se cumple, siendo t cualquier variable real.

ds/dt = v = │R’(t)│                                                                              (3)

La (2) se convierte en         k = det/ds = (det/dt) (dt/ds) = (det/dt) / │R’(t)│     (4)

que ya es una definición práctica, para curvatura vectorial o escalar, según se aplique.

La fórmula (4) se puede convertir en la (5) con un poquito de algebra t combinando las todas las relaciones anteriores. El libro de Cálculo de Leithold, 7ª edición, coloca esta demostración como un ejercicio para resolver.

k=│[dR(t)/dt) X d²R(t)/dt²]│ / │dR(t)/dt│³                                                           (5)

Vector normal

Observemos la figura 3-2 y 3-1 en este orden:

Figura 3

Si el vector et hace un ángulo θ con el eje x, los vectores et y e’t hacen un ángulo Δθ. Los vectores et y e’t son los vectores tangentes unitario en los puntos P y P’.

Si llevamos estos vectores a un sistema cartesiano con origen O’, ambos tienen radio 1 y hacen un ángulo Δθ. Figura 3-1

El vector Δet es tal que                                                     et + Δet = e’t

Y │Δet │= 2 (1) sen (Δθ/2) =

Y │Δet │/ Δθ = sen (Δθ/2) / (Δθ/2)

Cuando Δθ→0, entonces [│Δet │/ Δθ = sen (Δθ/2) / (Δθ/2)] →1

Δet es un vector unitario y perpendicular a et (Sólo en el plano x, y)

Por lo tanto, det │/ dθ; es un vector unitario normal, perpendicular a et    (6       en = det/dθ)

Veamos que es la curvatura, en forma práctica, en el plano x y

La parametrizamos así:

y= f(x)                                               (7)

x = t                                                  (7a)

f(x) = f(t)                                           (7b)  

R(t) = (t, f(t), 0)                                (8)

R’(t) = (1, f’(t), 0)                              (9)

R”(t)= (0, f”(t), 0)                               (10)

et = [(1, f’(t), 0)]/√(1 + (f(t))²)              (11)

Continuamos con la curvatura en y = f(x)

Recordemos que x = t

Toda curva en el plano o en el espacio, en un punto dado, tiene curvatura, siempre y cuando, en ese punto P(x, y, z), definido por el vector posición R(t), existan  R’(t) y R”(t).

En los puntos de inflexión de esas curvas, la curvatura es igual a 0

En un punto donde hay curvatura, existen infinitas circunferencias tangentes. La pregunta es: ¿Cuál de esas circunferencias es la que mejor se adapta a la curva y a la curvatura en ese punto?

Para responder esto, busquemos la curvatura en una circunferencia

x² + y² = r²

Utilicemos sólo la parte superior           y = √ (r² -x²)

y’ = (1/2) (-2x) / √ (r² -x²) = -x/√ (r² -x²)

y” = - [ √ (r² -x²) (1) – x ((1/2) (-2x) / √ (r² -x²)]/ (r² -x²)

   

 = r² / (r² – x²) ^3/2

k(x) = [ r² / (r² - x²) ^3/2] / [1 + x²/ (r² – x²)] ^3/2

k(x) = r² / (r² )^3/2= r² / r = 1/r

En un punto dado de cualquier circunferencia, la curvatura es igual a 1/Radio. Todos los puntos de la misma circunferencia tienen la misma curvatura y en el caso de varias circunferencias a mayor curvatura menor radio y viceversa.

Volviendo al caso de una curva 2D o 3D, en un punto P, donde exista curvatura, se ha definido que la circunferencia tangente a la curva en P, que mejor se acomoda a la curva es aquella cuya radio sea 1/k y su centro esté dentro de la curva y tenga la dirección del vector normal.

Por tanto, no es gratuito afirmar que la circunferencia de curvatura, de una curva, en un punto dado P, es aquella, que contiene ese punto, que el radio sigue la dirección interior del vector normal y cuyo radio es

ρ= 1/k

Si la curva es en el plano x, y, el plano de la circunferencia es el x, y.

Si la curva es en 3D, la circunferencia está en el plano osculador, definido así:

1.Contiene el punto P de la curva,

2.Su normal es el vector binormal eb = et x en

A veces es difícil y laborioso hallar et y en

Por tanto, el plano osculador, queda definido por el punto P(xo, yo, zo) y el vector:

et x en

Ejercicio 1

R(t) = (t^-1, 2ln(t), 2t)                               (1)

El punto P queda en t=2

Hallar el plano osculador en ese punto, la curvatura escalar y el vector curvatura en ese punto

Para t = 2, el punto P es P(1/2, 2ln2, 4)

R’ = (-t^-2, 2t^-1, 2)                │R’│ = (2t² + 1)     (2)     Se deja como ejercicio para el lector

et = (-1/(1 + 2t²), 2t/(1 +2 t²), 2t²/(1 +2 t²))

El punto P para t = 2        et = (-1/9, 4/9, 8/9)     (3)               Verificar que es unitario

R” = (2t^-3, -2t^-2, 0)           

N(t) = det/dt = [d(-1/(1 + t²), 2t/(1 + t²), 2t²/(1 + t²)) / dt]/        Que es muy laborioso. Lo hice por

derive.                             en = N(t) /│N(t)│

N(t) = (1/(2t² + 1)²)(4t, 2 – 4t², 4t)

en= (1/2)(1/(2t² + 1)²)(4t, 2 – 4t², 4t)

Para comprobar que et y en son perpendiculares hacemos el producto escalar y se ve que nos da igual a 0

En t = 2             en =(1/18) (8, -14, 8)

El vector normal, que define el plano osculador será:

(-1, 4, 8) X (8, -14, 8)        Podemos ignorar el denominador 9 en et  y coeficiente que precede a en

 (80, -72, -18)                           el vector eb =  (80, -72, -18)/ √(80² +72²+18²) = (80, -72, -18/2√2977

La ecuación del plano osculador es 80x -72y -18z + C = 0

Aplicado a P(1/2, 2ln2, 4)

40 -144ln2 -112 + C = 0

C = 72 + 144ln2

80x – 72y -18z +144ln2 = 0                   (4)           Ecuación del plano osculador.

Para la curvatura escalar k utilizaremos la fórmula (15) para t = 2  formulas (2) y (3) del ejercicio

En t = 2 R’ y R” son, respectivamente, los vectores:

R’ = (-1/4, 1, 2)

R” = (1/4, -1/2,0)

El producto cruz o vectorial de R’ X R” es el vector          (1, ½, -1/8)

Cuya magnitud es 9/8

La magnitud del vector R’ es 9/4

k= (9/8)/(9/4)³ = 8/81

Y el radio del círculo osculador será ρ = 81/8

El vector curvatura k = (8/1458) (8, -14, 8)

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com