Jardín,
febrero 2021
Solución de ecuaciones diferenciales
lineales.
Si una
ecuación diferencial, después de algunas transformaciones algebraicas, se puede
reescribir de la forma:
y’ +
P(x)y = Q(x) (1)
Estamos
hablando de una ecuación diferencial lineal y existe un método preciso para
resolverse.
Utilizamos
un factor integrante multiplicador μ = e∫P(x)dx, con el cual multiplicamos la totalidad de la
ecuación, ya escrita en su forma oficial.
μdy/dx + μP(x)y = μQ(x)
(1 a)
recordemos
d(μy)/dx = μdy/dx + y e∫P(x)dx P(x)
=udy/dx + y P(x) μ =μQ(x)
En el párrafo anterior: e∫P(x)dx P(x)
= derivada de µ (derivada del segundo)
La
solución la obtenemos directamente por integración
∫d(μy) =∫μQ(x)dx y
μy = ∫μQ(x)dx Esta es
la fórmula para encontrar la solución y
(2)
En los
ejercicios no vamos a aplicar la fórmula (2), sino que haremos el procedimiento
completo, para facilitar que se entienda el proceso, que nos llevó a la
ecuación (2)
Ejemplo 1
y’ + 2 y/x
= x – 1
P(x) = 2/x
Q(x) = x–1
Factor
integrante μ = e ∫P(x)dx =e ∫(2/x)dx =e ᶺ 2lnx = e ᶺ ln x2
μ = x2
x2y’ + 2x2y/x = x2 (x – 1) = x2y’ + 2xy = x2 (x – 1)
d (x2y) /dx = x2 (x – 1)
d (x2y) = x3 – x2
Integrando
a ambos lados:
x2y =∫( x3 – x2) dx
x2y
=x4/4 – x3/3 + C
y=x2/4
– x/3 + C/x2
Chequeemos
a ver si cumple la ecuación diferencial
y’ = x/2
– 1/3 –2C/x3
2y/x = x/2
–2/3 +2C/x3
y’ + 2y/x
= (x/2 + x/2) –1 +0 =x – 1 Satisface la
ecuación que estábamos resolviendo.
Ejemplo 2
xy’ – y =
x2 cox 2x
(3)
y’ – y/x
= x cox 2x
P(x) =
-1/x
μ = e ∫P(x)dx
μ = e (-1/x) dx = e -lnx
= e ᶺln x – 1 = e ln(1/x)
= 1/x
y’/x –
y/x2 =cos 2x
d(y/x)/dx
= cos 2x
d(y/x) =
cos 2x dx
y/x = ∫cos 2x dx = (sen
2x) /2 +C
Solución
y = Cx +
(x/2) sen (2x)
Ecuación
de Bernoulli
y’ + P(x)
y = Q(x) yn
(4)
Se parece
a la lineal, pero aparece yn, daña la forma general de la ecuación
lineal.
Hacemos
el siguiente cambio de variable v = y 1 – n
(5)
dv/dx = (1
– n) y – n dy/dx
y’ = dy/dx
= (1/ (1 – n)) yn (dv/dx)
de (5)
y=vyn
(6)
Reemplazando
(5) y (6) en (4)
[(yn/
(1 – n)]dv/dx + P(x) v yn = Q(x)yn Podemos
eliminar yn
[1/ (1 –
n)] dv/dx + P(x) v = Q(x)
dv/dx +
(1 – n) P(x)v = (1 – n) Q(x)
(7)
P nuevo =
(1 – n) P(x)
Q nuevo =
(1 – n) Q(x)
La
ecuación (7) es una ecuación lineal, donde las variables son v, x
Ejemplo 3
x2y’
+ 2xy =5y3
(8)
y’ + 2y/x
= 5y3/x2
(8 a)
v=y 1-n
=y 1 – 3 = y –2 y
vy3 = y
(8 b)
dv/dx = –2
y –3 dy/dx
(8 c)
y’ =
dy/dx = (–1/2) y3 dv/dx
(8 d)
(8 d) y
(8 b) en (8 a)
(– 1/2) y3
dv/dx + 2 (vy3)/x =5y3/x2
Podemos
cancelar y3 y tenemos
(– 1/2)
dv/dx + 2 v/x =5/x2
dv/dx -
4v/x =-10/x2
(9)
Esta es
una ecuación lineal en v, x
Factor
integrante μ = e∫(-4/x)
dx =e -4lnx
=eᶺ ln x – 4 =x- 4
[dv/dx -
4v/x]x-4 =[-10/x2]x-4
d (x-4
dv/dx – 4v/x5) =-10/x6
d (x-4
v) = -10x-6 dx
integrando
x-4v
= 2/x5 +C
v = 2/x
+Cx4
y2 = 1/ (2/x + Cx4) =x / (2 + Cx5)
Que es la
solución general
En este
link se pueden resolver muchas ecuaciones diferenciales en línea.
https://es.symbolab.com/solver/ordinary-differential-equation-calculator
No
obstante, el link merece un comentario adicional. En este repaso que vamos a
hacer de resolución de ecuaciones diferenciales, vamos a tratar 1. Ecuaciones
lineales de primer grado y primer orden. (Lo que hemos hecho hoy). 2.
Ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo grado, con coeficientes
constantes, con un término independiente R(x), que se encuentra en una tabla
dada, por el método de coeficientes indeterminados. 3. Ecuaciones homogéneas y no
homogéneas de segundo grado, con coeficientes variables o constantes y un R(x)
que no se encuentra en la tabla mencionada, por el método de variación de
parámetros.
El link
resuelve la mayoría de las ecuaciones 1de y 2 y algunas de 3. Pero si es de orden mayor
a 2 o los coeficientes de las no homogéneas son complicados, al igual que el
R(x), es probable que el link no tenga capacidad para resolverla.
Juan
Fernando Sanín E
No hay comentarios:
Publicar un comentario