PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Medellín, Julio de 2011

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES

El teorema del valor extremo para funciones de dos variables es el siguiente:

Si z= f(x,y) es una función de dos variables, definida en todos los puntos de una curva cerrada C, ubicada en el plano xy, entonces existe al menos un punto A(x_a, y_a) en el cual el f(x_a,y_a) es un máximo absoluto y otro punto B(x_b, y_b),en el cual f(xb, yb) es un mínimo absoluto.(A y B en la región definida por la curva cerrada C incluyendo los puntos de C)

Los extremos abolutos ocurren, o bien sea en los puntos críticos que estén en la curva cerrada C o dentro de esta, o sobre puntos de la propia curva.

Figura 1

Teorema del Valor extremo para funciones de dos variables, definidas en todos los puntos de una curva cerrada C, en xy

Si consideramos que el plano xy es el plano horizontal, y que la función f(x, y) está definida en todos los puntos (interiores y de frontera) de la curva C, entonces la representación gráfica de la función es la superficie que está sobre la curva C. El sentido común, que a veces no es muy común, nos indica que, en el caso general, algún punto de la superficie es el más alto (máximo absoluto) y otro será el que esté más bajito, (el mínimo absoluto). Estos extremos pueden quedar, bien sea sobre algún punto interior de la curva C y coinciden con los extremos relativos, o bien están sobre la frontera, pudiendo o no coincidir con extremos relativos.

Aunque en general, algunos matemáticos aceptan que se puede dar una demostración formal del teorema, muchos otros consideran que se trata de una proposición no demostrable, que es evidente por sí misma.

Ejemplo

Sea la función:

z=2x⁴ + y² –x² – 2y

Definida en la frontera y los puntos internos de la región definida por el eje x, el eje y y la recta :

x+ y=2, en el primer cuadrante del plano xy.

Llamemos esta región R.

Como la función es continua en todos los puntos de la región R, entonces debe haber al menos un máximo absoluto y un mínimo absoluto.

Dónde lo buscamos?

1. En os puntos críticos de la función, que estén dentro de la región R.

2. En la frontera de la región R.

Puntos críticos de la función en el interior de R

Los encontramos resolviendo el sistema de ecuaciones fx=0 y fy=0

Figura 2

Grafica de la función z=2x⁴ + y² –x² – 2y

Nota. En esta gráfica sólo tenemos en cuenta la superficie que está sobre la región R, que en la figura está sombreada con gris. Hay puntos de la superficie que están sobre R, que no alcanzan a ser vistos en la figura.

El resultado de resolver el sistema fx = 0 y fy = 0 es el siguiente:

(1/2, 1,-9/8)

(0,1, -1)

(Descartamos el punto (-1/2, 1,-9/8), porque la dupla ( -1/2, 1) no está dentro de la región R)

Ahora buscamos los máximos y mínimos en la frontera de la región R

Si x pertenece a [0, 2] en donde la y= 0

z(x, 0) = u(x)=2x⁴ – x²

u’= 8x³ – 2x = 0

x= 0 , x= 1/2 y x= -1/2 Este último valor no se considera por estar fuera del dominio. En estos dos valores para la x, hay puntos críticos en u(x).Debemos considerar estos puntos y los extremos del intervalo.

(0, 0, 0)

(1/2, 0, -1/8)

(2, 0, 28)

Este último punto está por fuera de lo alcanza a mostrar la figura 2, pero es de los puntos de la superficie que está bajo estudio.

Sigamos recorriendo la frontera de la región R

La y pertenece a [0, 2] cuando x= 0

z(0, y) = v(y) = y² – 2y

v’= 2y - 2 = 0

y= 1 Aquí se encuentra el punto crítico en v(y). Además, hay que considerar los extremos del intervalo.

(0, 0, 0)

(0, 2, 0)

(0,1, -1)

Qué ocurre en la otra frontera, la que cierra la región R: x + y = 2

y= 2 - x

z(x, 2 – x) = 2x⁴ + (2 – x)² – x² -2(2 – x) = s(x) = 2x⁴ – 2x

s’ = 8x³ – 2

x³= =1/4

x=(1/4) ^(1/3) = 0.62996

Hay que considera los puntos sobre la recta x + y = 2

(0, 2, 0)

(2, 0, 28)

(0.62996, 1.37004, -0.95)

Comparando los puntos que tenemos en diferentes colores, escogemos el mayor y el menor.

Valor máximo absoluto (2, 0, 28)

Mínimo absoluto (1/2, 1,-9/8)

Problema

Se va a construir una caja sin tapa. El costo de los materiales es igual a 10. El material de los lados vale 0.3 dólares/m2, mientras que el del fondo vale 0.15 dólares/m2.

Encontrar las dimensiones de la caja que se puede construir con ese valor y que tenga volumen máximo.

x y , z Las dimensiones de la caja rectangular.

V El volumen de la caja

Figura 3 Caja rectangular sin tapa

V=xyz

El costo de la caja sin tapa:

0.15zx+2xy*0.3+2yz*0.3=10

z=(10 - 0.6xy)/(0.15x + 0.6y)

V=xy(10 - 0.6xy)/(0.15x + 0.6y)

V= (10xy - 0.6x²y²)/(0.15x + 0.6y)

Vx=-(4y²(3x² + 24xy - 200)/(3(x + 4y)²)

Vxx=-64y²(6y² + 25)/(3(x + 4y)³)

Vy=-8x²(3xy + 6y² - 25)/3(x + 4y)²)

Vyy=-8x²(3x² + 200)/(3(x + 4y)³)

Vx=0 y Vy=0 nos da varias soluciones, una de ellas es:

(0, 0)

Otra solución es la que resulte de resolver el sistema:

3x² + 24xy - 200=0

3xy + 6y² - 25=0

Aunque no es simple, se supone que quien está resolviendo este tipo de problemas ya sabe resolver el sistema.

La solución es:

(4.7140, 1.1785) y (-4.7140, -1.1785)

La segunda solución no es lógica en este problema, pues las dimensiones de la caja deben ser positivas.

Los puntos críticos de V son:

(0, 0, 0) Volumen = 0

(4.7140, 1.1785, 26.1891)

La x se mueve entre 0 e infinito. En ambos casos el volumen V es 0

La y se mueve entre 0 e infinito. En ambos casos el volumen es 0.

Por tanto el valor máximo debe ocurrir en un punto crítico y no queda otro que:

(4.7140, 1.1785, 26.1891)

Dada la naturaleza del problema, no se requiere averiguar si los puntos críticos son máximos o mínimos relativos.

Conocidos x, y, lo mismo que el volumen Vmax, encontramos el valor de z.

z=4.7140

La respuesta del problema es: La caja de mayor volumen es una caja de cuadrada de 4.7140 de lado y una altura de 1.1785

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com