Medellín, Agosto 2011
GRADIENTE – DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL
Un campo vectorial es una función que asigna a cada tripla ordenada (x, y, z) un vector F
F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k
El campo puede ser bidemensional, cuando a cada par ordenado (x, y) le asigna un vector F n- dimensional, cuando a cada enetupla ordenada (x1, x2, ….., xi,…..xn) le asigna un vector de n componentes F.
Un campo escalar es cualquier función f, que a cada tripla ordenada ( o dupla o n-etupla según sea el caso) le asigna un valor único.
1. Gradiente de un Campo Escalar
Sea f (x,y,z) es un campo escalar
Sea ∇ el operador Nabla o Del
∇ = ∂ /∂x i + ∂ /∂y j +∂ /∂z k
∇ f = ∂f /∂x i + ∂f /∂y j +∂f /∂z k
∇ f = grad f = fx i + fy j + fzk
Que es una nomenclatura más amable.
La expresión ∇ f Se denomina gradiente de f y la leemos nabla f o "del" f o gradiente f.
Para el caso de funciones escalares de dos variables f(x, y)
Si u es el vector unitario (senθ, cosθ), ubicado en el plano xy, θ el ángulo que hace el radio vector con la parte positiva del eje x.
Entonces la derivada direccional de f será Duf = grad f. u
Duf = fx cosθ + fy senθ = Mod Grad. Mod u cosβ
Si θ = 0o……………..Duf = fx
Si θ = 90º……………Duf = fy
Si aplicamos la propiedad del producto escalar para Duf, podremos escribir que:
Duf = Mod Grad. Mod u cosβ
Duf será máximo cuando β = 0, es decir, cuando u tiene la dirección del gradiente.
Esto implica que el vector gradiente tiene la dirección en la cual la derivada direccional es máxima o lo que es lo mismo, la dirección en la cual la función varía mas intensamente (crece o decrece).
Ejemplo 1
f(x, y) = 1/(x2 +y2) 1/2
Grad f= fx i + fy j = -x/(x2 +y2) 3/2i -- y/(x2 +y2) 3/2j
Ejemplo 2
f(x, y) = y +senx
Grad f = cos x i + j
2. Divergencia de un campo vectorial
Sea
F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k
La divergencia de F es el producto escalar ficticio entre
∇ . F = (∂ /∂x i + ∂ /∂y j +∂ /∂z k ) (M i + N j +P k)
Divergencia F = Div F = ∂ M/∂x + ∂N /∂y +∂P /∂z
Ejemplo 3
F=(x2+y, y2 + z, z+ 1)
∇.F= Div F = 2x+2y+1
F=(e 2x, 3x2yz, 2y2z+x)
∇.F= Div F= 2e2x+3x2z+2y2
F=(3x2y, -2xy3)
∇.F= Div F=6xy – 6xy2
3. Significado físico de la divergencia
La divergencia de un campo vectorial suele definirse como el producto escalar del operador vectorial nabla o del por el campo vectorial. Con base en esta definición, el matemático inglés George Green estableció el siguiente teorema:
Si tenemos un campo vectorial tridimensional F, dentro del cual hay un volumen V, limitado por una superficie S entonces:
El flujo neto que ingresa o sale del volumen a través de la superficie, es igual a
∫ S F.n ds……donde n es el vector unitario normal al diferencial de superficie ds.
Este flujo es igual a ∫ S F.n ds = ∫ v Div F dv……….. (1)
Figura 1
Flujo de Vectores que entra y sale de un volumen dado, que está en medio del campo vectorial.
Recordemos que ∫S F.n ds = ∫v Div F dv = ΣDiv Fi ∆Vi…cuando ∆Vi tiende a 0
Si hacemos la abstracción de que reducimos el volumen hasta convertirlo en infinitesimal, entonces la expresión anterior se convierte en:
∫S F.n ds = Div Fi ∆Vi……cuando ∆Vi tiende a 0
De donde: Div Fi = (∫S F.n ds)/ ∆Vi, cuando ∆Vi tiende a 0.
Div F = lim cuando ∆v tiende a 0 de ∫S F.n ds / ∆V
Es decir, la divergencia es una medida del flujo neto en un punto, por unidad de volumen.
Si la divergencia es positiva en un punto dado, y si este flujo neto es positivo, se dice que el punto es una fuente. Si pensamos en un gas saliendo a presión por la boquilla de una manguera, el gas se dispersa, lo que nos indica que en una fuente, las líneas de flujo que salen del punto dado tienden a abrirse.
Cuando la divergencia es negativa, están entrando más vectores que los que salen y el punto actúa como un sumidero y en un sumidero, las líneas de campo o de flujo, se van acercando unas a otras, hasta casi confundirse en el punto.
Si la divergencia de F es cero, no hay flujo neto a través de la superficie.
Si un líquido que es incompresible, se mueve de acuerdo con un campo de velocidades, la divergencia tiene que ser 0, ya que la incompresibilidad del mismo, no permite ni aumento, ni disminución de la masa en un volumen dado.
Una divergencia elevada en un punto dado, indica que en ese punto el campo se está "abriendo" como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual. Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo. Una divergencia negativa indica que en ese punto el campo se está cerrando o está siendo absorbido como en un desagüe o sumidero.
4. Rotacional de un campo vectorial
El Rotacional de un campo vectorial F, es otro vector o campo vectorial que se obtiene al multiplicar vectorialmente el operador nabla o del por el vector F.
Figura 2 Definición Rotacional
Ejemplo 4
F= (y2, x2, z2)
Aplicando el determinante
Rot F = 2(x –y) k
Ejemplo 5
F=(y/(x2+y2)1/2 –x, -x/(x2+y2)1/2 –y, 0)
Para encontrar el rotacional de F utilizaremos el siguiente determinante:
i…………………………..............j………………....... k
∂/∂x………………….............∂/∂y………………....∂/∂z
y/(x2+y2)1/2 –x….-x/(x2+y2)1/2 –y…………...0
Figura 3 Rotacional de un campo vectorial
Si el campo vectorial es sólo en el plano xy, entonces, el rotacional de éste, si existe, es perpendicular al plano xy, es decir tiene la dirección k.
Respecto de la interpretación del rotacional encontré interesante este apunte:
Gus Preguntas y respuestas yahoo.
“EL ROTACIONAL o rotor es un vector que indica cuán curvadas están las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual a cero en un punto dado, significa que en esa región las líneas de campo son rectas (aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse simétricamente si existe divergencia en ese punto)
Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.”
Ejemplo 6
Veamos el campo gravitatorio en el plano xy
i…………………………..................j……………….. k
∂/∂x…………………...................∂/∂y…………..∂/∂z
y/(x2+y2)1/2 –x….-x/(x2+y2)1/2 –y…………..0
Figura 4 Campo gravitatorio en el plano xy
F=(-gmx/(x2+y2) 3/2, -gmy/(x2+y2) 3/2, 0)
Si aplicamos el determinante que define el rotacional de este campo éste será:
k(∂(-gmy/(x2+y2) 3/2) ∂x - ∂(-gmx/(x2+y2) 3/2) ∂y))=k(3xy/(x2+y2) 5/2- 3xy/(x2+y2) 5/2)
Rot F = 0
Como se ve en las líneas de flujo del campo, en cada punto de éste, está representado por un segmento recto. Aunque las líneas no son paralelas, no hay en ellas el componente rotacional.
El rotacional de un campo es 0 en un punto dado, cuando en ese punto las líneas de flujo no tienen un componente rotacional o curvo, como es el caso que nos ocupa.
Ejemplo 7
Figura 5
Rot F = 2 ex seny k
En la figura 5 vemos como las hay una tendencia curva en las líneas del campo.
En el punto (1, 1). En este caso Mod Rot F = 2 e sen 1= 4.57
Para este ejemplo, la divergencia de F en (1, 1) es igual a
Div F = ex cosy + excosy = 2ex cosy
En (1, 1) Div F = 2.94
Eso significa que en este campo, en este punto (1, 1) no sólo tiene tendencia a rotar sino también a abrirse.
Ejemplo 8
F= (2x, 3y, 0)
Figura 6
En este campo, en el punto (1, 1) el rotacional Rot F= 0, lo que indica que no hay componente rotacional en el flujo. La divergencia es igual a 5, lo que indica que una dispersión del campo. En cada punto del plano hay una fuente.
Ejemplo 9
Sea F= (x2yz2, xyz2, x+y+z)
Aplicando la fórmula del rotacional obtenemos:
Rot F =(1-2xyz)i –(1-2x2yz)j +(yz2-x2z2)k
La divergencia de F será
Div F =2xyz2+xz2+1
Veamos como son el rotacional y la divergencia en (0, 0, 0), (1, 1, 1)
(0, 0, 0)...... Rot F = i - j ……….Div F = 1
O sea que este flujo, en este punto tiene una fuente y además el flujo tiene una tendencia rotacional.
La rotación del flujo se da en un plano cuya normal es el vector i - j y además, como la divergencia = 1, su flujo tiene a abrirse (es una fuente)
(1, 1, 1)...... Rot F = -i + j.........Div F = 4
En este punto, el flujo tiene una tendencia rotacional en el plano cuya normal es el vector -i+j , y como la divergencia es igual a 4, hay una fuente.
Ejemplo 10
La divergencia de un rotacional es igual a 0
F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k
Rot F = (Py - Nz, -Px + Mz, Nx – My))
Div Rot F = Pyx – Nzx - Pxy + Mzy + Nxz - Myz
= 0
Existirá el Rot (Div F)?
Nota: Un campo cuyo rotacional es 0, se llama irrotacional.
Juan Fernando Sanin
Juanfernando.sanin@gmail.com
Muchas gracias por el aporte, por cierto el Rot (Div F) cuando no mas es cero ?
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