GRADIENTE - DIVERGENCIA - ROTACIONAL

Medellín, Agosto 2011

GRADIENTE – DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL

Un campo vectorial es una función que asigna a cada tripla ordenada (x, y, z) un vector F

F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k

El campo puede ser bidemensional, cuando a cada par ordenado (x, y) le asigna un vector F n- dimensional, cuando a cada enetupla ordenada (x1, x2, ….., xi,…..xn) le asigna un vector de n componentes F.

Un campo escalar es cualquier función f, que a cada tripla ordenada ( o dupla o n-etupla según sea el caso) le asigna un valor único.

1. Gradiente de un Campo Escalar

Sea f (x,y,z) es un campo escalar

Sea ∇ el operador Nabla o Del

∇ = ∂ /∂x i + ∂ /∂y j +∂ /∂z k

∇ f = ∂f /∂x i + ∂f /∂y j +∂f /∂z k

∇ f = grad f = fx i + fy j + fzk

Que es una nomenclatura más amable.

La expresión ∇ f Se denomina gradiente de f y la leemos nabla f o "del" f o gradiente f.

Para el caso de funciones escalares de dos variables f(x, y)

Si u es el vector unitario (senθ, cosθ), ubicado en el plano xy, θ el ángulo que hace el radio vector con la parte positiva del eje x.

Entonces la derivada direccional de f será Duf = grad f. u

Duf = fx cosθ + fy senθ = Mod Grad. Mod u cosβ

Si θ = 0^o……………..Duf = fx

Si θ = 90º……………Duf = fy

Si aplicamos la propiedad del producto escalar para Duf, podremos escribir que:

Duf = Mod Grad. Mod u cosβ

Duf será máximo cuando β = 0, es decir, cuando u tiene la dirección del gradiente.

Esto implica que el vector gradiente tiene la dirección en la cual la derivada direccional es máxima o lo que es lo mismo, la dirección en la cual la función varía mas intensamente (crece o decrece).

Ejemplo 1

f(x, y) = 1/(x² +y²) ^1/2

Grad f= fx i + fy j = -x/(x² +y²) ^3/2i -^- y/(x² +y²) ^3/2j

Ejemplo 2

f(x, y) = y +senx

Grad f = cos x i + j

2. Divergencia de un campo vectorial

Sea

F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k

La divergencia de F es el producto escalar ficticio entre

∇ . F = (∂ /∂x i + ∂ /∂y j +∂ /∂z k ) (M i + N j +P k)

Divergencia F = Div F = ∂ M/∂x + ∂N /∂y +∂P /∂z

Ejemplo 3

F=(x²+y, y² + z, z+ 1)

∇.F= Div F = 2x+2y+1

F=(e ^2x, 3x²yz, 2y²z+x)

∇.F= Div F= 2e^2x+3x²z+2y²

F=(3x²y, -2xy³)

∇.F= Div F=6xy – 6xy²

3. Significado físico de la divergencia

La divergencia de un campo vectorial suele definirse como el producto escalar del operador vectorial nabla o del por el campo vectorial. Con base en esta definición, el matemático inglés George Green estableció el siguiente teorema:

Si tenemos un campo vectorial tridimensional F, dentro del cual hay un volumen V, limitado por una superficie S entonces:

El flujo neto que ingresa o sale del volumen a través de la superficie, es igual a

∫ _S F.n ds……donde n es el vector unitario normal al diferencial de superficie ds.

Este flujo es igual a ∫ _S F.n ds = ∫ _v Div F dv……….. (1)

Figura 1

Flujo de Vectores que entra y sale de un volumen dado, que está en medio del campo vectorial.

Recordemos que ∫_S F.n ds = ∫_v Div F dv = ΣDiv Fi ∆Vi…cuando ∆Vi tiende a 0

Si hacemos la abstracción de que reducimos el volumen hasta convertirlo en infinitesimal, entonces la expresión anterior se convierte en:

∫_S F.n ds = Div Fi ∆Vi……cuando ∆Vi tiende a 0

De donde: Div Fi = (∫_S F.n ds)/ ∆Vi, cuando ∆Vi tiende a 0.

Div F = lim cuando ∆v tiende a 0 de ∫_S F.n ds / ∆V

Es decir, la divergencia es una medida del flujo neto en un punto, por unidad de volumen.

Si la divergencia es positiva en un punto dado, y si este flujo neto es positivo, se dice que el punto es una fuente. Si pensamos en un gas saliendo a presión por la boquilla de una manguera, el gas se dispersa, lo que nos indica que en una fuente, las líneas de flujo que salen del punto dado tienden a abrirse.

Cuando la divergencia es negativa, están entrando más vectores que los que salen y el punto actúa como un sumidero y en un sumidero, las líneas de campo o de flujo, se van acercando unas a otras, hasta casi confundirse en el punto.

Si la divergencia de F es cero, no hay flujo neto a través de la superficie.

Si un líquido que es incompresible, se mueve de acuerdo con un campo de velocidades, la divergencia tiene que ser 0, ya que la incompresibilidad del mismo, no permite ni aumento, ni disminución de la masa en un volumen dado.

Una divergencia elevada en un punto dado, indica que en ese punto el campo se está "abriendo" como los rayos de luz que emergen de una fuente puntual. Una divergencia nula indica que en esa zona los rayos son paralelos, como las velocidades de un fluido sin turbulencias dentro de un tubo. Una divergencia negativa indica que en ese punto el campo se está cerrando o está siendo absorbido como en un desagüe o sumidero.

4. Rotacional de un campo vectorial

El Rotacional de un campo vectorial F, es otro vector o campo vectorial que se obtiene al multiplicar vectorialmente el operador nabla o del por el vector F.

Figura 2 Definición Rotacional

Ejemplo 4

F= (y², x², z²)

Aplicando el determinante

Rot F = 2(x –y) k

Ejemplo 5

F=(y/(x²+y²)^1/2 –x, -x/(x²+y²)^1/2 –y, 0)

Para encontrar el rotacional de F utilizaremos el siguiente determinante:

i…………………………..............j………………....... k

∂/∂x………………….............∂/∂y………………....∂/∂z

y/(x²+y²)^1/2 –x….-x/(x²+y²)^1/2 –y…………...0

Figura 3 Rotacional de un campo vectorial

Si el campo vectorial es sólo en el plano xy, entonces, el rotacional de éste, si existe, es perpendicular al plano xy, es decir tiene la dirección k.

Respecto de la interpretación del rotacional encontré interesante este apunte:

Gus Preguntas y respuestas yahoo.

“EL ROTACIONAL o rotor es un vector que indica cuán curvadas están las líneas de campo o de fuerza en los alrededores de un punto. Se aplica exclusivamente a campos vectoriales. Un rotacional igual a cero en un punto dado, significa que en esa región las líneas de campo son rectas (aunque no necesariamente paralelas, ya que pueden abrirse simétricamente si existe divergencia en ese punto)

Un rotacional no nulo indica que en los alrededores del punto, las líneas de campo son arcos, o sea que es una región donde el campo se está curvando. La dirección del vector rotacional es perpendicular al plano de curvatura, y su intensidad indica el grado de curvatura que sufre el campo.”

Ejemplo 6

Veamos el campo gravitatorio en el plano xy

i…………………………..................j……………….. k

∂/∂x…………………...................∂/∂y…………..∂/∂z

y/(x²+y²)^1/2 –x….-x/(x²+y²)^1/2 –y…………..0

Figura 4 Campo gravitatorio en el plano xy

F=(-gmx/(x²+y²) ^3/2, -gmy/(x²+y²) ^3/2, 0)

Si aplicamos el determinante que define el rotacional de este campo éste será:

k(∂(-gmy/(x²+y²) ^3/2) ∂x - ∂(-gmx/(x²+y²) ^3/2) ∂y))=k(3xy/(x²+y²) ^5/2- 3xy/(x²+y²) ^5/2)

Rot F = 0

Como se ve en las líneas de flujo del campo, en cada punto de éste, está representado por un segmento recto. Aunque las líneas no son paralelas, no hay en ellas el componente rotacional.

El rotacional de un campo es 0 en un punto dado, cuando en ese punto las líneas de flujo no tienen un componente rotacional o curvo, como es el caso que nos ocupa.

Ejemplo 7

Considerar el campo vectorial de la figura 5

Figura 5

Rot F = 2 e^x seny k

En la figura 5 vemos como las hay una tendencia curva en las líneas del campo.

En el punto (1, 1). En este caso Mod Rot F = 2 e sen 1= 4.57

Para este ejemplo, la divergencia de F en (1, 1) es igual a

Div F = e^x cosy + e^xcosy = 2e^x cosy

En (1, 1) Div F = 2.94

Eso significa que en este campo, en este punto (1, 1) no sólo tiene tendencia a rotar sino también a abrirse.

Ejemplo 8

F= (2x, 3y, 0)

Figura 6

En este campo, en el punto (1, 1) el rotacional Rot F= 0, lo que indica que no hay componente rotacional en el flujo. La divergencia es igual a 5, lo que indica que una dispersión del campo. En cada punto del plano hay una fuente.

Ejemplo 9

Sea F= (x²yz², xyz², x+y+z)

Aplicando la fórmula del rotacional obtenemos:

Rot F =(1-2xyz)i –(1-2x²yz)j +(yz²-x²z²)k

La divergencia de F será

Div F =2xyz²+xz²+1

Veamos como son el rotacional y la divergencia en (0, 0, 0), (1, 1, 1)

(0, 0, 0)...... Rot F = i - j ……….Div F = 1

O sea que este flujo, en este punto tiene una fuente y además el flujo tiene una tendencia rotacional.

La rotación del flujo se da en un plano cuya normal es el vector i - j y además, como la divergencia = 1, su flujo tiene a abrirse (es una fuente)

(1, 1, 1)...... Rot F = -i + j.........Div F = 4

En este punto, el flujo tiene una tendencia rotacional en el plano cuya normal es el vector -i+j , y como la divergencia es igual a 4, hay una fuente.

Ejemplo 10

La divergencia de un rotacional es igual a 0

F= (M(x, y, x), N(x, y, z), P(x, y, z)) = M(x, y, x) i + N(x, y, z) j + P(x, y, z) k

Rot F = (Py - Nz, -Px + Mz, Nx – My))

Div Rot F = Pyx – Nzx - Pxy + Mzy + Nxz - Myz

= 0

Existirá el Rot (Div F)?

Nota: Un campo cuyo rotacional es 0, se llama irrotacional.

Juan Fernando Sanin

Juanfernando.sanin@gmail.com

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Medellín, Julio de 2011

TEOREMA DEL VALOR EXTREMO PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES

El teorema del valor extremo para funciones de dos variables es el siguiente:

Si z= f(x,y) es una función de dos variables, definida en todos los puntos de una curva cerrada C, ubicada en el plano xy, entonces existe al menos un punto A(x_a, y_a) en el cual el f(x_a,y_a) es un máximo absoluto y otro punto B(x_b, y_b),en el cual f(xb, yb) es un mínimo absoluto.(A y B en la región definida por la curva cerrada C incluyendo los puntos de C)

Los extremos abolutos ocurren, o bien sea en los puntos críticos que estén en la curva cerrada C o dentro de esta, o sobre puntos de la propia curva.

Figura 1

Teorema del Valor extremo para funciones de dos variables, definidas en todos los puntos de una curva cerrada C, en xy

Si consideramos que el plano xy es el plano horizontal, y que la función f(x, y) está definida en todos los puntos (interiores y de frontera) de la curva C, entonces la representación gráfica de la función es la superficie que está sobre la curva C. El sentido común, que a veces no es muy común, nos indica que, en el caso general, algún punto de la superficie es el más alto (máximo absoluto) y otro será el que esté más bajito, (el mínimo absoluto). Estos extremos pueden quedar, bien sea sobre algún punto interior de la curva C y coinciden con los extremos relativos, o bien están sobre la frontera, pudiendo o no coincidir con extremos relativos.

Aunque en general, algunos matemáticos aceptan que se puede dar una demostración formal del teorema, muchos otros consideran que se trata de una proposición no demostrable, que es evidente por sí misma.

Ejemplo

Sea la función:

z=2x⁴ + y² –x² – 2y

Definida en la frontera y los puntos internos de la región definida por el eje x, el eje y y la recta :

x+ y=2, en el primer cuadrante del plano xy.

Llamemos esta región R.

Como la función es continua en todos los puntos de la región R, entonces debe haber al menos un máximo absoluto y un mínimo absoluto.

Dónde lo buscamos?

1. En os puntos críticos de la función, que estén dentro de la región R.

2. En la frontera de la región R.

Puntos críticos de la función en el interior de R

Los encontramos resolviendo el sistema de ecuaciones fx=0 y fy=0

Figura 2

Grafica de la función z=2x⁴ + y² –x² – 2y

Nota. En esta gráfica sólo tenemos en cuenta la superficie que está sobre la región R, que en la figura está sombreada con gris. Hay puntos de la superficie que están sobre R, que no alcanzan a ser vistos en la figura.

El resultado de resolver el sistema fx = 0 y fy = 0 es el siguiente:

(1/2, 1,-9/8)

(0,1, -1)

(Descartamos el punto (-1/2, 1,-9/8), porque la dupla ( -1/2, 1) no está dentro de la región R)

Ahora buscamos los máximos y mínimos en la frontera de la región R

Si x pertenece a [0, 2] en donde la y= 0

z(x, 0) = u(x)=2x⁴ – x²

u’= 8x³ – 2x = 0

x= 0 , x= 1/2 y x= -1/2 Este último valor no se considera por estar fuera del dominio. En estos dos valores para la x, hay puntos críticos en u(x).Debemos considerar estos puntos y los extremos del intervalo.

(0, 0, 0)

(1/2, 0, -1/8)

(2, 0, 28)

Este último punto está por fuera de lo alcanza a mostrar la figura 2, pero es de los puntos de la superficie que está bajo estudio.

Sigamos recorriendo la frontera de la región R

La y pertenece a [0, 2] cuando x= 0

z(0, y) = v(y) = y² – 2y

v’= 2y - 2 = 0

y= 1 Aquí se encuentra el punto crítico en v(y). Además, hay que considerar los extremos del intervalo.

(0, 0, 0)

(0, 2, 0)

(0,1, -1)

Qué ocurre en la otra frontera, la que cierra la región R: x + y = 2

y= 2 - x

z(x, 2 – x) = 2x⁴ + (2 – x)² – x² -2(2 – x) = s(x) = 2x⁴ – 2x

s’ = 8x³ – 2

x³= =1/4

x=(1/4) ^(1/3) = 0.62996

Hay que considera los puntos sobre la recta x + y = 2

(0, 2, 0)

(2, 0, 28)

(0.62996, 1.37004, -0.95)

Comparando los puntos que tenemos en diferentes colores, escogemos el mayor y el menor.

Valor máximo absoluto (2, 0, 28)

Mínimo absoluto (1/2, 1,-9/8)

Problema

Se va a construir una caja sin tapa. El costo de los materiales es igual a 10. El material de los lados vale 0.3 dólares/m2, mientras que el del fondo vale 0.15 dólares/m2.

Encontrar las dimensiones de la caja que se puede construir con ese valor y que tenga volumen máximo.

x y , z Las dimensiones de la caja rectangular.

V El volumen de la caja

Figura 3 Caja rectangular sin tapa

V=xyz

El costo de la caja sin tapa:

0.15zx+2xy*0.3+2yz*0.3=10

z=(10 - 0.6xy)/(0.15x + 0.6y)

V=xy(10 - 0.6xy)/(0.15x + 0.6y)

V= (10xy - 0.6x²y²)/(0.15x + 0.6y)

Vx=-(4y²(3x² + 24xy - 200)/(3(x + 4y)²)

Vxx=-64y²(6y² + 25)/(3(x + 4y)³)

Vy=-8x²(3xy + 6y² - 25)/3(x + 4y)²)

Vyy=-8x²(3x² + 200)/(3(x + 4y)³)

Vx=0 y Vy=0 nos da varias soluciones, una de ellas es:

(0, 0)

Otra solución es la que resulte de resolver el sistema:

3x² + 24xy - 200=0

3xy + 6y² - 25=0

Aunque no es simple, se supone que quien está resolviendo este tipo de problemas ya sabe resolver el sistema.

La solución es:

(4.7140, 1.1785) y (-4.7140, -1.1785)

La segunda solución no es lógica en este problema, pues las dimensiones de la caja deben ser positivas.

Los puntos críticos de V son:

(0, 0, 0) Volumen = 0

(4.7140, 1.1785, 26.1891)

La x se mueve entre 0 e infinito. En ambos casos el volumen V es 0

La y se mueve entre 0 e infinito. En ambos casos el volumen es 0.

Por tanto el valor máximo debe ocurrir en un punto crítico y no queda otro que:

(4.7140, 1.1785, 26.1891)

Dada la naturaleza del problema, no se requiere averiguar si los puntos críticos son máximos o mínimos relativos.

Conocidos x, y, lo mismo que el volumen Vmax, encontramos el valor de z.

z=4.7140

La respuesta del problema es: La caja de mayor volumen es una caja de cuadrada de 4.7140 de lado y una altura de 1.1785

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com