Repaso de Cónicas, en cartesianas y en Polares

 

Medellín, mayo 2024 

 

Blog: Repaso general de las cónicas.

A.   Definición de las cónicas en polares

Considere la figura 1

r, θ, e (excentricidad) y d

Figura 1. Definición de cónicas 

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos P(r, θ) tales que:

Abs(PF)/Abs(PE) = e

e se denomina excentricidad (Hay que diferenciarlo del número trascendente e). El resto de los datos y elementos están explicados en la figura 1 

d = 2p

r = e(2p + rcosθ)                r – ercosθ = 2ep             r = 2ep/(1 – ecosθ)              (1)

B.   La elipse en coordenadas cartesianas

La elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x, y), tales que:

Abs( PF1) + ABS(PF2) = 2a        La suma de las distancias del punto P a los focos F1 y F2 sea igual a 2a,       donde 2a es una constante positiva. La figura 2 muestra esta propiedad y demás elementos de la elipse.

Figura 2 Elementos y datos de la elipse.

Demostremos la fórmula tradicional en cartesianas, con centro en C(0, 0)  y la propiedad d2 + d1 = 2a

√((x+c)² + y²)) +√((x-c)² + y²)) = 2a

Elevamos al cuadrado:

2√(x²+2xc+c²+y²) √(x²-2xc+c²+y²) = 4a²-2x²-2y²-2c²

Volviendo a elevar al cuadrado:

Si cambiamos c² = a² – b²        y simplificamos, obtendremos:

2x²b² = -2a²y² + 2a²b²

x²b² + a²y²= a²b²

x²/a² + y²/b² = 1    que es la forma tradicional como conocemos la elipse, en coordenadas cartesianas, con ejes en el centro (0, 0), con un semieje mayor a y otro menor b, figuras 2 y 3

Figura 3. Coincidencia de definiciones de excentricidad, respecto a la que se dio cuando se repasó cónicas en polares.

En cartesianas nos han enseñado que e = c/a < 1. Cuando c = 0, si e = 0, se trata de una circunferencia. Cuando e = 1      √ (a² –b²) /a     b es despreciable respecto a y la elipse se convierte en una recta infinita, extendida para ambos lados.

e1 = √ ((x – c)² +y²) / (a²/c – x)

Demostración que e1 = e = c/a

Elevemos al cuadrado la expresión e1

(e1)² = (x² – 2xc +c² + y²) / (a²/c – x)²

En el numerador cambiemos c² por a² – b² y y² por b²(1 - x²/a²)

(c²(x²c² – 2xca² + a⁴) /a²) / (cx – a²)2           (e1)² = c²/a²       Por tanto e1 = e = c/a

C.   La parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos P tan que la distancia de P a un punto F, llamado foco, es igual a la distancia del punto P a una recta en el plano. Ver figura 4

p+p = d

Figura 4 Propiedades y elementos de la parábola en coordenadas cartesianas.

Escojamos eje y vertical (focal) y eje x, que corresponda con el eje polar, perpendicular al eje y.

e = 1 =Abs(PF)/Abs(PD)

√ (x² + y²) / (x + 2p) = 1

(x² + y²) / (x² + 4xp +4p²) =1                     y² = 4xp + 4p²

4p (x + p) = y²

Donde p es la distancia del foco (centro del eje de coordenadas), al vértice de la parábola.

Si hacemos un cambio de las variables x, x e y por  x’ e y’ ubicados en el vértice.

x’ = x + p        y’ = y

4px’ = y’² que es la ecuación que conocemos de la parábola horizontal.

Si fuera vertical       4py’ = x’²

Volvamos al hecho que, los ejes que hemos escogido, los llamaremos x e y, perpendiculares en el vértice.

4px = y² parábola horizontal, el signo de p nos dice si es hacia la derecha o hacia la izquierda

4py = x² parábola vertical, el signo de p nos dice si es hacia arriba o hacia abajo,

Ejemplos

8x= y²           Es horizontal. 8 = 4p        p = 2    F(2, 0) directriz x = -2 y es hacia la derecha.

9y = x²          Es vertical       9 = 4p      p = 9/4    F(0, 9/4), directriz y = -9/4 y es hacia arriba.

-16y = x²     Es vertical       -16 = 4p     p = -4     F(0, -4), directriz y = 4 y es  hacia abajo.

La parábola en polares (figura 1), con ejes en el foco.

r = 2ep/(1 – ecosθ)              (1)  de la sección A     con e = 1

r = 2p/(1 – cosθ)                (1)       p es la distancia focal, vértice foco.

D.   La hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P (x, y) tales que la diferencia de distancias a dos puntos F1, F2 es igual a 2a. Los datos y elementos de una hipérbola se muestran en la figura 5.

√ ((x + c)²+y²) -√((x-c)²+y²) = 2a

Elevando al cuadrado ambos lados

√ ((x + c)²+y²) √((x - c) ²+ y²) = x² + y² +c² - 2a²

Elevando al cuadrado de nuevo y cambiando c² por a² + b²:

b²x² = -b²x² + 2a²y²+2a²b²

Simplificando:

2b²x² – 2a²y² =2 a²b²

x²/a² – y²/b² = 1    que es la ecuación normal que conocemos de la hipérbola.

Despejemos y

y = ±√ (b²x²/a² – 1) = ±(bx/a) √ (1 – a²/(b²x²))

Vemos que cuando x es tan grande como queramos, el radical no es significativo respecto de y = ±bx/a

Razón por la cual, (aunque no con mucho rigor), concluimos que y = ± bx/a son las asíntotas oblicuas de la hipérbola. Dos rectas que pasan por el origen (0, 0)

Además, se ha definido que la excentricidad de la hipérbola es c/a > 1 (c > a)

 Figura 5. Datos y elementos de una hipérbola horizontal.

Si cambiamos el orden en la fórmula general de la hipérbola:

y²/b² – x²/a² = 1

Obtenemos una hipérbola vertical, con las mismas asíntotas,

Vértices en (0, b) y (0, -b),

Focos en (0, c) y (0, -c)

Con la relación c² = a² + b²

e = c/b

directrices y = ±b²/c

Esta hipérbola, se llama la hipérbola conjugada (respecto de la horizontal)

La hipérbola en polares

Figura 6 Elementos y datos de la hipérbola en polares. Si el foco lo hubiera puesto al lado izquierdo de la directriz, el dibujo hubiera sido la rama de la hipérbola que va hacia la izquierda.

¿Por qué es importante conocer la ecuación de las cónicas en polares?

Cuando repasemos las leyes de Kepler, en mecánica vectorial, en otro blog, la órbita del cuerpo de menor masa m1, (despreciable con respecto a la masa mayor m2), el resultado será una cónica. Si sabemos que la masa m1 tiene una trayectora de no regreso, se tratará de una hipérbola o una parábola. Si sabemos que la trayectoria de la masa menor m1 es cerrada, sabemos que se trata de una elipse. Tal es el caso de los planetas respecto del sol o de los cometas que regresan cada cierto periodo de tiempo.

El movimiento de la Luna respecto de la tierra, es mas complejo. Se tráta de una órbita cerrada, pero la masa de la luna, no es despreciable respecto de la tierra, y el movimiento que se encontrará para la masa m1, será una elipse respecto del centro de masa luna tierra. Igualmente, la tierra también girará, respecto del centro de gravedad común.

Favor vean este video, antes de que lo quiten.

https://www2.montes.upm.es/dptos/digfa/cfisica/dinamsist/tierraluna.html

¿Porque se llaman cónicas?

La figura 7 nos indica por qué.

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com