Ecuaciones diferenciales exactas

 

 

Jardín 18 de mayo de 2021

 

 

Ecuación diferencial exacta

 

M (x, y) dx+N (x, y) dy=0                                              (1)

Implica que hay una función f (x, y) =c, tal que su diferencial es

df (x, y) =M (x, y) dx+N (x, y) dy, donde fx= M y fy=N

Las derivadas parciales fx = M (x, y) y fy=N (x, y), deben ser continuas en una región, definida por a< x < b, c < y < d. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que M (x, y) dx+ N (x, y) dy sea una diferencial exacta es que

My=fxy

Ny=fyx

Mx=Ny                      Recordar que en derivadas parciales fxy = fyx

Ya que fxy = fyx

El orden en que se haga la derivación no afecta el resultado de la derivada.

Ejemplo 1

xdy/dx=2xe^x-y+6x²

xdy=(2xe^x-y+6x²) dx

(2xe^x-y+6x²) dx-xdy=

Mdx+Ndy=0

My=-1

Nx=-1

Luego se trata de una ecuación diferencial exacta.

Si la solución es f (x, y)

M (x, y) = fx =2xe^x-y+6x²

f (x, y) =∫ (2xe^x-y+6x²) dx = 2xe^x-e^x-yx-2x³+g(y)

fy (x, y) =-x+g’(y)

Lo igualamos a N (x, y)

-x+g’(y)=-x

g’(y)=0 y g(y)=C

La solución general es       f (x, y) = 2xe^x-e^x-yx-2x³=C

Ecuación diferencial inexacta

M (x, y) dx+N (x, y) dy=0                                                                 (2)

si

My≠Nx

La ecuación se llama diferencial no exacta.

Para volverla exacta utilizamos factores integrantes:

Supongamos que:

(My-Nx) /N (x, y) sea una función P(x)               (2-1)

o que:

(Nx-My) /M (x, y) sea una función Q(y)          (2,2)

Entonces utilizamos el factor integrante u(x)=e^∫P(x)dx   o  u(y)=e^∫Q(y)dy y multiplicamos la ecuación (2) por el factor integrante u

Si no se consigue una función P(x) o Q(y) con las fórmulas (2-1) 0 (2-2) la ecuación no tiene solución.

Hagámoslo con u(x)= u(x)=e^∫P(x)dx

e^∫P(x)dx M (x, y) dx+ e^∫P(x)dx N (x, y) dy=0                                         (3)

derivada con respecto a y, de e^∫P(x)dx M (x, y) es igual a:

e^∫P(x)dx M_y (x, y)                                        (3-1)

Ya que e^∫P(x)dx se toma como una constante.

Derivada con respecto a x de e^∫P(x)dx N (x, y)

=e^∫P(x)dx N_x (x, y) +N (x, y) e^∫P(x)dx d/dx(∫P(x)dx

= e^∫P(x)dx N_x (x, y) +N (x, y) e^∫P(x)dx P(x)

= e^∫P(x)dx N_x (x, y) +N (x, y) e^∫P(x)dx

e^∫P(x)dxMy(x,y)………..(3-2)    

Con lo que la ecuación (2), con los nuevos coeficientes de dx y dy se convierte en una diferencial exacta.

Si M y N son los nuevos M y N, entonces

M=       e^∫P(x)dx M (x, y)

N= e^∫P(x)dx N (x, y)

My= Nx y la ecuación queda exacta

Ejemplo 2

(1-x²y) dx+x²(y-x) dy=0                                                   (4)

M=1-x²y                                            N=x²(y-x)

My=-x²                                             Nx=2xy-3x²

My≠Nx y por tanto la ecuación no es exacta.

(My-Nx) /N=(-x²-2xy+3x²) /(x²(y-x))

=(2x²-2xy) /(x²(y-x)) =(2x(x-y)) /(x²(y-x)) =-2/x

El factor integrante μ

μ=e ^∫P(x)dx=e ^{∫(-2/x) dx} = e ^-2lnx =e ^{lnxᶺ (-2)} =x^-2 =1/x²

Multiplicando por μ la ecuación (4) obtenemos

(1/x²-y) dx+(y-x) dy=0                                                        (5)

Nuevas M y N

M=1/x²-y                                      N=y-x

My=-1                                          Nx=-1        My=Nx y la ecuación (5) es

exacta.

Para encontrar la función f (x, y), solución a la ecuación, integremos con respecto a x, la nueva M

f (x, y) =∫(1/x²-y) dx = -1/x-yx + g(y)

Ahora derivemos f (x, y) respecto de y encontramos N

-x+g’(y)=N= y-x

g’(y)=y        por tanto,  g(y)=y²/2

La solución general es:

f(xy)= -1/x-yx-y²/2=C

Ecuaciones lineales de la forma:

y’+P(x)y=Q(x)                                                             (6)

Siempre y cuando una ecuación diferencial las podamos transformar en una similar a la (6), estamos hablando de una ecuación diferencial lineal.

Suponemos que la solución es y=y₁(x)u(x)

Y luego haremos algunas restricciones.

y’=y₁u’+uy₁’

La ecuación queda:

y₁u’+uy₁’+P(x)uy₁=Q(x)

u(y₁’+P(x)y₁) +y₁u’=Q(x)

Al factor que multiplica a u lo hacemos igual a 0

y₁’+P(x)y₁=0

y₁’/y₁=-P(x)

lny₁=∫-P(x)dx

y₁=e^∫-P(x)dx   una función de x

u’=Q(x)/y₁(x)

u=∫(Q(x)/y1(x)) dx

Ya tenemos y1(x) y u(x), por tanto, tenemos y=y₁(x)u(x)

Para no tener que memorizar esto y salir fácilmente de la solución de la ecuación, una vez la tengamos en la forma y’+P(x)y=Q(x)

Multiplicamos toda la ecuación por el factor e^∫p(X), y es equivalente a que hubiéramos hecho todo el procedimiento completo.

Ejemplo 3

y’-(4/x) y=x⁵e^x

P(x)=-4/x            Q(x)= x⁵e^x

Factor integrante e^∫P(x)dx

∫(-4/x) dx =-4lnx

e^(-4lnx) =(e^lnx) ^(-4) = x^-4

el factor integrante es x^-4

Multipliquemos la ecuación por x^-4

x^-4y’- (4/x⁵) y=xe^x

el lado izquierdo es igual a

d/dx(x^-4y) =xe^x

Integrando por partes el lado derecho:

x^-4y=xe^x-e^x+c

y=x⁵e^x-x⁴e^x+cx⁴   Es la solución a la ecuación diferencial del ejemplo 3

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com