Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales: Problema de vaciado de tanques y Problema de la Nieve

 

Jardín 18 de mayo de 2021

Aplicaciones de las ED.

1. Vaciada de un tanque. 

2. Problema de la nieve.

El tanque tiene sección variable. Además, en el tiempo t=0 segundos, la altura del líquido, respecto de la boca de salida es H.

Para resolver este problema debemos recurrir a la ecuación de Bernoulli

Para un flujo de un líquido, entre los dos puntos 1 y 2 se da la siguiente ecuación.

P₁ + rgh₁ + rv₁²/2 = P₂ + rgh₂ + rv₂²/2                       (1)

Donde:

P₁ y P₂ es la presión en Newton/m2 (N/m2)

r en Kg/m3

g = 9,8 m/s2

v₁ y v₂ en m/s

Suponemos que en el tiempo t, la altura del líquido es y (ver figura 1)

Nota. Hay que ser consecuente con las unidades. Además, la presión atmosférica en la superficie de la tierra es 1 atm = 101325 Pa y 1 Pa =1N/m2

la ecuación de Bernoulli en el tiempo t, cuando la altura del líquido en el tanque es y, respecto de la boca de salida.

Nos referiremos a la figura 1 b, cuando ya han transcurrido t segundos desde que se inició el vaciado. En el punto 1(tiempo t y altura y) la velocidad v₁ es prácticamente 0. En el punto 2, la velocidad es v(y) y h₂ =0

P₁ + rgy + rv₁²/2 = P₂ + rgh₂ + rv²/2

P₁ = P₂ igual a 1 atmósfera = 101325 N/m2

En el punto 1 la altura es y(m) y en el punto 2 y=0 m

Reemplazando en la ecuación de Bernoulli, esta queda así:

rgy = rv²/2          o               v=√2gy m/s, siempre y cuando se utilicen las unidades indicadas.

Esta ecuación, que es un caso particular de la de Bernoulli se llama de Torricelli.

Nota. En este tipo de problema hay otro factor involucrado. Nos referimos a la viscosidad. No fluye con igual velocidad, por el agujero del desagüe, si el tanque está lleno de miel de abeja o de agua. La ecuación de Torricelli se modifica en la práctica así:

v=K√2gy m/s                                                      0<K<=1, siendo 1 para el agua y otros líquidos no viscosos. Para nuestro caso, suponemos que k= 1 (agua o líquido similar) y casó 0 para líquidos muy viscosos.

v=√2gy m/s             ecuación que vamos a utilizar.

Suponemos que se conoce el área de la boca del desagüe: a (m2)

En el tiempo t + ∆t, el volumen V(t + ∆t) será:

V(t + ∆t) = V(t) - av∆t

V(t + ∆t) - V(t)= -av∆t

[V(t + ∆t) - V(t)]/ ∆t =-av     y cuando ∆t tienda a 0, la expresión anterior se convierte en:

dV(t)/dt = -a√2gy                                                                    (3)

En el intervalo ∆t, la altura del líquido y tiene una disminución ∆y

V al igual que es función de t, también es función de y

V (y + ∆y) = V(y) – A(y) ∆y

V (y + ∆y) = V(y) – A(y) ∆y           A(y) es el área transversal del tanque

[V (y + ∆y) - V(y)]/ ∆y =-A(y)

Cuando ∆y tienda a 0

dV(y)/dy= - A(y)                                                              (4)

Hagamos una transformación a la ecuación (3)

(dV(t)/dt )(dy/dy)= -a√(2gy)

(-A(y))dy/dt) = -a√(2gy)                                                     (5)

La ecuación (5) es una ecuación diferencial, que se resuelve por separación de variables y nos da

∫[(A(y)/( a√(2gy))]dy = t + C

Con los datos del problema, encontramos C y encontramos el tiempo

Que tarda en vaciarse el tanque.

Ejemplo 1

Un tanque cilíndrico está lleno de un líquido con fluidez k=1. En el tiempo t = 0 la altura es 2,7 m y t=1 h la y es igual a 1,2 m.

Calcular el tiempo.

Cualquiera sea el volumen, el tanque es cilíndrico y por tanto A(y) es A (constante)

Vamos a la ecuación (5). Esta se convierte en:

Ady/dt =a(2gy) ^(1/2)

[A/(a(2gy) ^½)]dy = dt                      (A / (2g) ^½ a) Es una constante M, aunque 

no la conocemos.

M y ^-1/2 dy = dt

Integrando a ambos lados:

M y ^½ / (1/2) = t + C            o              2M y ^½ = t + C       (6)

Cuando t = 0     y = 2,7 m                          2M (2,7) ^½ =C

Cuando t =1h = 3600 s      y=1,2 m               2M (1,2) ^½ =3600 + C

Por tanto

2(1,095) M =3600 + 2M (1,6432)

1,0955M = -3600              M = -3286,17

C=-10799,66

La (6) queda

-6572,34y ^½ =t -10799,66          y (m)        t(s)

Cuando y=0 (se vació el tanque)               t= 10799,66 segundos

=2 h 59 min 59 s

Ejemplo 2

Problema de la nieve. (¿A qué hora empezó a nevar?)

Está nevando con regularidad (con intensidad constante y se supone que la velocidad de la máquina es inversamente proporcional a la altura de nieve). Una máquina quitanieves sale a las 12 del mediodía y recorre 2 kms en la 1ª hora y 1 km en la 2ª hora. ¿A qué hora empezó a nevar?

 

Cuando uno ve este problema por primera vez, se piensa que faltan datos o porqué no preguntaron ¿Cómo se llama el conductor de la máquina?

 

t₀ es el tiempo trascurrido desde que empezó a nevar hasta las 12 M que inicia trabajo la máquina quitanieves y t el tiempo de trabajo de la maquina después de las 12.

De acuerdo con el enunciado se supone también que la velocidad de la máquina es inversamente proporcional a la altura h, que alcanza la nieve en el tiempo: to+ t.

Luego la velocidad de la máquina es: v = ds/dt = k/h km/hora (k es una cte.)

La altura h de la nieve es proporcional a t₀ + t (a más tiempo, más altura), pues nieva a una rata constante.

 

h= k₁(t₀ + t) (k₁es otra constante)

t₀ = –1,30901699 horas no tiene sentido.

 

 t₀ = 0,618033988 horas = 37 minutos y 4,922 segundos antes de las 12 es la respuesta que tiene sentido

 

Empezó a nevar a 12 horas – (37 minutos y 4,922 segundos) = 11 horas, 22 minutos, 55,078 segundos.

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Ecuaciones diferenciales exactas

 

 

Jardín 18 de mayo de 2021

 

 

Ecuación diferencial exacta

 

M (x, y) dx+N (x, y) dy=0                                              (1)

Implica que hay una función f (x, y) =c, tal que su diferencial es

df (x, y) =M (x, y) dx+N (x, y) dy, donde fx= M y fy=N

Las derivadas parciales fx = M (x, y) y fy=N (x, y), deben ser continuas en una región, definida por a< x < b, c < y < d. Entonces, la condición necesaria y suficiente para que M (x, y) dx+ N (x, y) dy sea una diferencial exacta es que

My=fxy

Ny=fyx

Mx=Ny                      Recordar que en derivadas parciales fxy = fyx

Ya que fxy = fyx

El orden en que se haga la derivación no afecta el resultado de la derivada.

Ejemplo 1

xdy/dx=2xe^x-y+6x²

xdy=(2xe^x-y+6x²) dx

(2xe^x-y+6x²) dx-xdy=

Mdx+Ndy=0

My=-1

Nx=-1

Luego se trata de una ecuación diferencial exacta.

Si la solución es f (x, y)

M (x, y) = fx =2xe^x-y+6x²

f (x, y) =∫ (2xe^x-y+6x²) dx = 2xe^x-e^x-yx-2x³+g(y)

fy (x, y) =-x+g’(y)

Lo igualamos a N (x, y)

-x+g’(y)=-x

g’(y)=0 y g(y)=C

La solución general es       f (x, y) = 2xe^x-e^x-yx-2x³=C

Ecuación diferencial inexacta

M (x, y) dx+N (x, y) dy=0                                                                 (2)

si

My≠Nx

La ecuación se llama diferencial no exacta.

Para volverla exacta utilizamos factores integrantes:

Supongamos que:

(My-Nx) /N (x, y) sea una función P(x)               (2-1)

o que:

(Nx-My) /M (x, y) sea una función Q(y)          (2,2)

Entonces utilizamos el factor integrante u(x)=e^∫P(x)dx   o  u(y)=e^∫Q(y)dy y multiplicamos la ecuación (2) por el factor integrante u

Si no se consigue una función P(x) o Q(y) con las fórmulas (2-1) 0 (2-2) la ecuación no tiene solución.

Hagámoslo con u(x)= u(x)=e^∫P(x)dx

e^∫P(x)dx M (x, y) dx+ e^∫P(x)dx N (x, y) dy=0                                         (3)

derivada con respecto a y, de e^∫P(x)dx M (x, y) es igual a:

e^∫P(x)dx M_y (x, y)                                        (3-1)

Ya que e^∫P(x)dx se toma como una constante.

Derivada con respecto a x de e^∫P(x)dx N (x, y)

=e^∫P(x)dx N_x (x, y) +N (x, y) e^∫P(x)dx d/dx(∫P(x)dx

= e^∫P(x)dx N_x (x, y) +N (x, y) e^∫P(x)dx P(x)

= e^∫P(x)dx N_x (x, y) +N (x, y) e^∫P(x)dx

e^∫P(x)dxMy(x,y)………..(3-2)    

Con lo que la ecuación (2), con los nuevos coeficientes de dx y dy se convierte en una diferencial exacta.

Si M y N son los nuevos M y N, entonces

M=       e^∫P(x)dx M (x, y)

N= e^∫P(x)dx N (x, y)

My= Nx y la ecuación queda exacta

Ejemplo 2

(1-x²y) dx+x²(y-x) dy=0                                                   (4)

M=1-x²y                                            N=x²(y-x)

My=-x²                                             Nx=2xy-3x²

My≠Nx y por tanto la ecuación no es exacta.

(My-Nx) /N=(-x²-2xy+3x²) /(x²(y-x))

=(2x²-2xy) /(x²(y-x)) =(2x(x-y)) /(x²(y-x)) =-2/x

El factor integrante μ

μ=e ^∫P(x)dx=e ^{∫(-2/x) dx} = e ^-2lnx =e ^{lnxᶺ (-2)} =x^-2 =1/x²

Multiplicando por μ la ecuación (4) obtenemos

(1/x²-y) dx+(y-x) dy=0                                                        (5)

Nuevas M y N

M=1/x²-y                                      N=y-x

My=-1                                          Nx=-1        My=Nx y la ecuación (5) es

exacta.

Para encontrar la función f (x, y), solución a la ecuación, integremos con respecto a x, la nueva M

f (x, y) =∫(1/x²-y) dx = -1/x-yx + g(y)

Ahora derivemos f (x, y) respecto de y encontramos N

-x+g’(y)=N= y-x

g’(y)=y        por tanto,  g(y)=y²/2

La solución general es:

f(xy)= -1/x-yx-y²/2=C

Ecuaciones lineales de la forma:

y’+P(x)y=Q(x)                                                             (6)

Siempre y cuando una ecuación diferencial las podamos transformar en una similar a la (6), estamos hablando de una ecuación diferencial lineal.

Suponemos que la solución es y=y₁(x)u(x)

Y luego haremos algunas restricciones.

y’=y₁u’+uy₁’

La ecuación queda:

y₁u’+uy₁’+P(x)uy₁=Q(x)

u(y₁’+P(x)y₁) +y₁u’=Q(x)

Al factor que multiplica a u lo hacemos igual a 0

y₁’+P(x)y₁=0

y₁’/y₁=-P(x)

lny₁=∫-P(x)dx

y₁=e^∫-P(x)dx   una función de x

u’=Q(x)/y₁(x)

u=∫(Q(x)/y1(x)) dx

Ya tenemos y1(x) y u(x), por tanto, tenemos y=y₁(x)u(x)

Para no tener que memorizar esto y salir fácilmente de la solución de la ecuación, una vez la tengamos en la forma y’+P(x)y=Q(x)

Multiplicamos toda la ecuación por el factor e^∫p(X), y es equivalente a que hubiéramos hecho todo el procedimiento completo.

Ejemplo 3

y’-(4/x) y=x⁵e^x

P(x)=-4/x            Q(x)= x⁵e^x

Factor integrante e^∫P(x)dx

∫(-4/x) dx =-4lnx

e^(-4lnx) =(e^lnx) ^(-4) = x^-4

el factor integrante es x^-4

Multipliquemos la ecuación por x^-4

x^-4y’- (4/x⁵) y=xe^x

el lado izquierdo es igual a

d/dx(x^-4y) =xe^x

Integrando por partes el lado derecho:

x^-4y=xe^x-e^x+c

y=x⁵e^x-x⁴e^x+cx⁴   Es la solución a la ecuación diferencial del ejemplo 3

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com