Medellín, agosto 2020
Vigas pretensadas
Diseño a
flexión basado en esfuerzos de trabajo
Un método de diseño es ensayar una sección de prueba,
luego se le asignan la fuerza de pre tensionamiento y el perfil de los cables para
balancear una carga externa específica.
Una notación específica es establecida para los
esfuerzos permisibles del concreto, al límite de las diferentes etapas.
fci = esfuerzo de compresión permisible inmediatamente
después de la transferencia.
fti = esfuerzo de tensión permisible inmediatamente
después de la transferencia.
fcs = esfuerzo de servicio de compresión permisible,
después que se produzcan todas las pérdidas.
fts = esfuerzo de servicio de tensión permisible,
después que se produzcan todas las pérdidas.
Ejemplo
19.3 (Design of Concrete
Structures, Arthur H Nilson, David Darwin, Charles W Dolan, 14 edición)
Diseño de viga con excentricidades variables para los
cables. Una post tensionada, pretensada viga de concreto va a soportar una carga
viva intermitente de 1000 lb/pie y una carga muerta permanente de 500 lb/pie,
además de su propio peso, en una luz de 40 pies, simplemente apoyada. Se
utiliza concreto de densidad normal. Se utilizará concreto de f’c=6000 psi = 6
Ksi. Se estima que, al tiempo de la transferencia el concreto ha llegado a 70%
de f’c = 4200 psi. Las pérdidas en esfuerzo totales se asumen en un 15% del pre
esfuerzo inicial, lo cual nos da una relación de efectividad de 0,85.
Determinar las dimensiones de la sección de concreto,
la magnitud de la fuerza de pre esfuerzo y la excentricidad del centroide de los
cables, basada en las limitaciones del ACI, para vigas tipo U, explicada en las
secciones 19.4 y 19.5 del libro citado.
Clase de vigas ACI U no agrietada, C agrietada y T
intermedia entre agrietada y no agrietada.
Esfuerzo de la fibra exterior en tensión ft, en la
zona pre comprimida
Hay tres clases de vigas tensadas, U, I, C (U y T son
de gran calidad)
U ft<= 7,5√f’c
T 7,5√f’c<ft<=12√f’c
C no es aconsejable.
Con referencia a la tabla 19.2
fci=-0,6x4200=-2520 psi cuando se hace este tensionamiento
f’c=4200 psi
fti=3√4200 = + 194 psi
fcs=-0,60x6000 = -3600 psi Cuando se logra este tensionamiento f’c=
3600psi
fts= 7,5√6000 = 581 psi
Densidad concreto normal = 2400 kg/m3=149,83 lb/pie3
Estimamos el peso propio de la viga en 250/lb/pie.
(Esta suposición es lo más crítico de este proceso, pues la experiencia del
diseñador es el factor más importante en esta decisión.)
Los Momentos de servicio debidos al peso propio son
Mo= (1/8)250x4^2=50000 lb pie = 50 kips –pie
Md+Ml= (1/8)1500 x40^2=300000 lb pie = 300 Kips pie
Kip = 1000 lb
Aquí hay un proceso de ensayo y error, que comenzó,
cuando supusimos el peso propio de la viga en 250 lb/pie. Las fórmulas del ACI
para seleccionar la sección son:
S1 = I/c1>=((1-R) Mo+Md+Ml/(Rfti-fcs) formula 19.20
S2=I/c2>0((1-R)
Mo+Md+Ml)/(fts-Rfci) formula 19.21
Siendo S1 y S2 los módulos de la sección que hemos
escogido.
Reemplazando en la fórmula (19.20) y (19.21)
R=Pe/Pi; Relación entre la carga de tensado
efectiva/carga de tensado inicial
(19.18)
Habíamos dicho que Pe/Pi =0,85 (Pe carga de pretensado efectiva
después de pérdidas y Pi carga de pretensado inicial.)
1Kip 1000 lb y 1 pie=12 pulg. (el 12000 que aparece se debe a esta
conversión de unidades.
S1=((0,15x50+300)
x12000/(0,85x194-(-3600)) = 980 pulg^3
S2=(0,15x50+300)12000)/
(581-0,85(-2520)) = 1355 pulg^3
Los valores obtenidos para S1 y S2, sugieren una
sección asimétrica. No obstante, vamos a seleccionar una sección simétrica, que
facilita mucho los cálculos.
I=19904
pulg^4
S=1422
pulg^3
Ac=240
pulg^2
r^2=87,9 pulg^2
Wo=250 lb/pie asumido
Ac=240
pulg^2x ((1 pie/12 pulg) ^2) =1,666pie^2
Wo=1,666
pulg^2x149,83 kg/pie^3 =249,61 lb/pie
Fig. 1
Nota: No hay duda de que el Wo asumido, no fue
espontaneo, ni siquiera resultado de la experiencia del autor. Hubo un proceso
de ensayo y error previo.
De acuerdo con el ACI el esfuerzo de compresión que
produciría Pi, viene dado por la fórmula (19.23) del libro y evidentemente del
ACI
fcci=fti-((c1x
(fti –f ci))/h
(19.23)
La encontramos con los datos que tenemos.
fcci= 194-(14/28) (194-(2520)) = 194 - (194+2520) /2=
-1163 psi
Pi= fccixAc=-1163x240=279000 lbs= 279 kips
La excentricidad del conjunto de cables es
e = (fti- fcci)
S1/Pi +Mo/Pi
(19.25)
e = (194-(-1163)1422/279000 +50x1000x12/279000=9,07;
que aparece en la gráfica 1
Es necesario reducir la excentricidad a lo largo de la
luz, con el fin, de que los esfuerzos permisibles del concreto no sean
superados. Los cables se colocan en la viga, siguiendo una parábola. En otro
blog veremos cómo se calcula esa parábola.
Fig 2
El pre tensionamiento inicial, la fuerza de 279 kips
se puede obtener con torones de ½” Grado 270 de baja relajación. El esfuerzo de
tensión es fpu=270 ksi y la resistencia a la cedencia fpy
=0,90x270=243 ksi.
De acuerdo con el código ACI (sección 19.4), el
esfuerzo permisible en cada cable, inmediatamente después de la transferencia
no debe exceder 0,82fpy=199 ksi o 0,74fpu=200 ksi.
Controla el primer criterio.
El área requerida de acero de pre esfuerzo es
Aps=279 lb/199 lb/pul^2=1,40 pulg2
La sección de un torón de ½” es 0,153 pul ^2
Número de tendones 1,4/0,153= 9,3, aproximadamente 10
tendones.
Se pueden conseguir dos cables de 5 torones de ½. Cada
tendón se puede tensar 279 kips/2= 139,5 kips cada uno.
Es buena práctica chequear los cálculos para confirmar
que los límites esfuerzos no se vayan a superar. Vemos los esfuerzos f1 y f2
independientemente para Pi, Pe, Mo, Md+Ml
Pi: f1=
-279000/240) – 279000x9,07x14/(240x82,9) = 618 psi I=Acr^2
f2= (-279000/240) (1+9,07x14/82,9) = -2943
Pe
En este caso hemos supuesto que Pe=0,85 Pi, pero ese factor 0,85 se
puede calcular, por un método aceptado por el ACI, que veremos en otro blog.
f1=0,85x618=525 psi
f2=0,85(-2943)=-2505 psi
Mo
f1=-50x12000/1422=-422 psi
f2 =
+422 psi
Md+Ml
f1= -300x12000/1422 = -2532 psi
f2=+2532 psi
Cuando actúan Pi y Mo
f1=618 - 422 =196 psi
f2=-2943+422 = 2521 psi
Cuando actual Pe, Mo, Md y Ml
f1 = 525 -422-2532 = -2429 psi
f2 = -2502 + 422+2532 =452 psi
Recordemos los límites
Bajo Pi y Mo fci=-2520
psi
fti=194 psi
Bajo Pe, Mo, Md y Ml fcs=-3600
psi
fts= 581 psi
Conclusión: Aunque los esfuerzos en las diferentes
etapas son satisfactorios, en la etapa Pi +Mo, quedan demasiado precisas y un
leve aumento de la sección, iría por el lado de la seguridad.
Juan Fernando Sanín Echeverri
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