Vigas Pretensadas 3

 

Medellín agosto 2020

 

 

 

Perdidas de tensión, en el tensado de vigas.

 

El primer elemento de pérdida de tensión es el efecto del encogimiento del concreto, durante el proceso de fraguado. Una vez tensado el cable, y fundido el concreto, la luz de la viga comienza a disminuir, por efecto del fraguado, fenómeno denominado retracción. Se estima que el acortamiento de la luz varía entre 0,4 y 1 mm por metro, εs entre 0,0004 y 0,001. (datos de cementos Argos)

El módulo de Young del acero es 2000000 kg/cm2; (29000 ksi)

Al tener el concreto una deformación unitaria εs=0,004, la contracción del cable tensado, imbuido en el concreto será igual, lo que implica una pérdida de esfuerzo de 0,0004x29000000 psi=11600 psi

 

En el ejemplo del blog 2 Vigas pretensadas 2

Pi = 279 kips =279000 lb

En dos cables de5 torones de ½” , siendo el área de un torón de ½” =0,153 pulg2.

 

Cada cable se tensa con Pi/2 = 139500 lb y tiene un área de 5x0,153= 0,765 pulg2

 

El esfuerzo inicial del cable es 139500/0,765=182353 lb/pul2

Por efecto de la retracción el cable perdería 11600 lb/pulg2                                             (1)

 

Pérdidas por fricción.

 

Las pérdidas por fricción se dividen en 2: 1º. Por fricción de rozamiento y 2º. Por curvatura del cable.

 

La pérdida en tensión por fricción y curvatura viene dada por la fórmula:

 

∆f=Pi –Pi e^(-(Kx+µα) donde

 

Pi es la carga de tensión que se aplica a cada cable (en este caso 139500 lb)

e es la base de los logaritmos naturales (no confundirlo con la excentricidad, que también la habíamos llamado e

K es un coeficiente lineal en unidades 1/long, en este caso suponemos que es 0,00122 /pie

µ es un coeficiente adimensional para la fricción por curvatura; µ = 0,25

α es la diferencia o la suma del ángulo correspondiente a la pendiente de la parábola en x=0 y en un x cualquiera.

Como se ve en la gráfica para x<L/2 ; α=(αo – αx) y si x>L/2, α=( αo + αx), donde ; αo es el ángulo de la pendiente en x=0 y αx, en la abscisa x. (Ángulo en radianes)

 

La curva dela vaina o del cable según el caso.

Escogemos un sistema xy, como se indica en la figura 1

 

 

Fig 1

 

El eje x comienza en el centroide de los cables en el origen y tiene dirección positiva hacia la derecha. El eje y tiene dirección positiva hacia abajo.

 

La ecuación de la parábola es y= Ax^2+Bx+C

 

x=0, y= 0, por tanto, C=0

 

En x=L/2, la y = 9,07 pulg (se puede ver en la figura 1 del blog anterior.) = 0,7558 pie

0,7558 pie=A (20^2) +Bx10 = 400A+10B                                                     (1-a)

En x=L

0=A (40^2) +40B = 1600A+40B                                                                     (1-b)

 

Resolviendo (1-a) y (1-b)

 

y = -0,00189x^2+0,07558x          (1-1)          ecuación de la parábola. (x e y en pies)

 

Su derivada

 

y’ = -0,00378x+0,07558                             (1-2)       Ecuación de la pendiente m en x

 

Veamos las pérdidas en L/4

 

y=0,5668 pie

y’=0,03778       nos permite encontrar αx= arctang0,03778 = 2,1636 deg

*Recordemos que para ángulos menores de 5 deg, el ángulo en radianes, el seno del ángulo y la tangente del ángulo son prácticamente iguales, por lo tanto: αx=0,03778 rad

 

Kx+µα =0,00122x10+0,25α

 

La pendiente de la curva en L/4                        m=-0,00378x10+0,07558 =0,03778 rad

 

m en x=0 = 0,07558 y por tango: αo = 0,07558 rad

 

Entonces               α= αo – αx = 0,07558 -0,03778=0,0378

 

La expresión   Kx+µα =0,00122x10+0,25α = Kx+µα =0,00122x10+0,25x0,0378 =0,02165

 

e^ (-0,02165) = 0,9785

 

Por, tanto Pe = 0,9785 Pi     las pérdidas son(1 – 0,9785)Pi =  0,021Pi= 0,021x139500 lb 2930 lb

 

Cómo se puede ver, las pérdidas dependen de x. La máxima pérdida o pérdida total ocurre en x=L

 

m = -0,00378x40+0,07558 =-0,07558 rad, pero se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj

 

α= αo + αl =0,07558-0,07558=0

 

La expresión Kx+µα = kL =0,00122x40=0,0408

 

e^ (-0,0408) = 0.96

 

∆Pi= 139500(1-0,96) =0,4x139500 = 5580 lb

 

∆f=5580 lb/0,765 pul2 =7294 lb/pulg2                                                               (2)

 

Las pérdidas de tensión por cable son (1) + (2)          11600+7294=18894 lb/pulg^2

 

182353 – 18894 = 163459 lb/pulg2    (182353 psi era la tensión producida por 139500 lb

 

En porcentaje       163459/182353 = 0,896

 

Por consiguiente, Pe= 0,896 Pi; por tanto     0,896x139500=124992 lb

 

La fuerza se redujo de 139500 a 124992 lb por las pérdidas por retracción y fricción.

 

Perdidas 10,4%

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

 

vigas pretensadas 2

 

Medellín, agosto 2020

 

 

Vigas pretensadas

 

Diseño a flexión basado en esfuerzos de trabajo

 

Un método de diseño es ensayar una sección de prueba, luego se le asignan la fuerza de pre tensionamiento y el perfil de los cables para balancear una carga externa específica.

 

Una notación específica es establecida para los esfuerzos permisibles del concreto, al límite de las diferentes etapas.

 

fci = esfuerzo de compresión permisible inmediatamente después de la transferencia.

fti = esfuerzo de tensión permisible inmediatamente después de la transferencia.

fcs = esfuerzo de servicio de compresión permisible, después que se produzcan todas las pérdidas.

fts = esfuerzo de servicio de tensión permisible, después que se produzcan todas las pérdidas.

 

Ejemplo 19.3       (Design of Concrete Structures, Arthur H Nilson, David Darwin, Charles W Dolan, 14 edición)

 

Diseño de viga con excentricidades variables para los cables. Una post tensionada, pretensada viga de concreto va a soportar una carga viva intermitente de 1000 lb/pie y una carga muerta permanente de 500 lb/pie, además de su propio peso, en una luz de 40 pies, simplemente apoyada. Se utiliza concreto de densidad normal. Se utilizará concreto de f’c=6000 psi = 6 Ksi. Se estima que, al tiempo de la transferencia el concreto ha llegado a 70% de f’c = 4200 psi. Las pérdidas en esfuerzo totales se asumen en un 15% del pre esfuerzo inicial, lo cual nos da una relación de efectividad de 0,85.

Determinar las dimensiones de la sección de concreto, la magnitud de la fuerza de pre esfuerzo y la excentricidad del centroide de los cables, basada en las limitaciones del ACI, para vigas tipo U, explicada en las secciones 19.4 y 19.5 del libro citado.

Clase de vigas ACI U no agrietada, C agrietada y T intermedia entre agrietada y no agrietada.

 

Esfuerzo de la fibra exterior en tensión ft, en la zona pre comprimida

Hay tres clases de vigas tensadas, U, I, C (U y T son de gran calidad)

U                     ft<= 7,5√f’c

T                     7,5√f’c<ft<=12√f’c

C                     no es aconsejable.

 

Con referencia a la tabla 19.2

 

fci=-0,6x4200=-2520 psi         cuando se hace este tensionamiento f’c=4200 psi

fti=3√4200 = + 194 psi

fcs=-0,60x6000 = -3600 psi    Cuando se logra este tensionamiento f’c= 3600psi

fts= 7,5√6000 = 581 psi

 

Densidad concreto normal = 2400 kg/m3=149,83 lb/pie3

 

Estimamos el peso propio de la viga en 250/lb/pie. (Esta suposición es lo más crítico de este proceso, pues la experiencia del diseñador es el factor más importante en esta decisión.)

 

Los Momentos de servicio debidos al peso propio son

Mo= (1/8)250x4^2=50000 lb pie = 50 kips –pie

 

Md+Ml= (1/8)1500 x40^2=300000 lb pie = 300 Kips pie

 

Kip = 1000 lb

 

Aquí hay un proceso de ensayo y error, que comenzó, cuando supusimos el peso propio de la viga en 250 lb/pie. Las fórmulas del ACI para seleccionar la sección son:

 

S1 = I/c1>=((1-R) Mo+Md+Ml/(Rfti-fcs)                           formula 19.20

 

S2=I/c2>0((1-R) Mo+Md+Ml)/(fts-Rfci)                           formula 19.21

 

Siendo S1 y S2 los módulos de la sección que hemos escogido.

 

Reemplazando en la fórmula (19.20) y (19.21)

 

R=Pe/Pi; Relación entre la carga de tensado efectiva/carga de tensado inicial                (19.18)

 

Habíamos dicho que Pe/Pi =0,85         (Pe carga de pretensado efectiva después de pérdidas y Pi carga de pretensado inicial.)

 

1Kip 1000 lb y 1 pie=12 pulg.  (el 12000 que aparece se debe a esta conversión de unidades.

 

S1=((0,15x50+300) x12000/(0,85x194-(-3600)) = 980 pulg^3

 

S2=(0,15x50+300)12000)/ (581-0,85(-2520)) = 1355 pulg^3

 

Los valores obtenidos para S1 y S2, sugieren una sección asimétrica. No obstante, vamos a seleccionar una sección simétrica, que facilita mucho los cálculos.

 

I=19904 pulg^4

S=1422 pulg^3

Ac=240 pulg^2

r^2=87,9 pulg^2

Wo=250 lb/pie asumido

 

Ac=240 pulg^2x ((1 pie/12 pulg) ^2) =1,666pie^2

 

Wo=1,666 pulg^2x149,83 kg/pie^3 =249,61 lb/pie

 

 

Fig. 1

 

Nota: No hay duda de que el Wo asumido, no fue espontaneo, ni siquiera resultado de la experiencia del autor. Hubo un proceso de ensayo y error previo.

 

De acuerdo con el ACI el esfuerzo de compresión que produciría Pi, viene dado por la fórmula (19.23) del libro y evidentemente del ACI

 

fcci=fti-((c1x (fti –f ci))/h                                                                  (19.23)

 

La encontramos con los datos que tenemos.

 

fcci= 194-(14/28) (194-(2520)) = 194 - (194+2520) /2= -1163 psi

 

Pi= fccixAc=-1163x240=279000 lbs= 279 kips

 

La excentricidad del conjunto de cables es

 

e = (fti- fcci) S1/Pi +Mo/Pi                                                                    (19.25)

 

e = (194-(-1163)1422/279000 +50x1000x12/279000=9,07; que aparece en la gráfica 1

 

Es necesario reducir la excentricidad a lo largo de la luz, con el fin, de que los esfuerzos permisibles del concreto no sean superados. Los cables se colocan en la viga, siguiendo una parábola. En otro blog veremos cómo se calcula esa parábola.

 

 

Fig 2

 

El pre tensionamiento inicial, la fuerza de 279 kips se puede obtener con torones de ½” Grado 270 de baja relajación. El esfuerzo de tensión es fpu=270 ksi y la resistencia a la cedencia fpy

=0,90x270=243 ksi.

De acuerdo con el código ACI (sección 19.4), el esfuerzo permisible en cada cable, inmediatamente después de la transferencia no debe exceder 0,82fpy=199 ksi o 0,74fpu=200 ksi.

Controla el primer criterio.

El área requerida de acero de pre esfuerzo es

 

Aps=279 lb/199 lb/pul^2=1,40 pulg2

 

La sección de un torón de ½” es 0,153 pul ^2

 

Número de tendones 1,4/0,153= 9,3, aproximadamente 10 tendones.

 

Se pueden conseguir dos cables de 5 torones de ½. Cada tendón se puede tensar 279 kips/2= 139,5 kips cada uno.

 

Es buena práctica chequear los cálculos para confirmar que los límites esfuerzos no se vayan a superar. Vemos los esfuerzos f1 y f2 independientemente para Pi, Pe, Mo, Md+Ml

 

Pi:    f1= -279000/240) – 279000x9,07x14/(240x82,9) = 618 psi                       I=Acr^2

        f2= (-279000/240) (1+9,07x14/82,9) = -2943

Pe   En este caso hemos supuesto que Pe=0,85 Pi, pero ese factor 0,85 se puede calcular, por un método aceptado por el ACI, que veremos en otro blog.

 

        f1=0,85x618=525 psi

        f2=0,85(-2943)=-2505 psi

 

Mo   f1=-50x12000/1422=-422 psi

         f2 = +422 psi

 

Md+Ml           f1= -300x12000/1422 = -2532 psi

                        f2=+2532 psi

 

Cuando actúan Pi y Mo

 

                      f1=618 - 422 =196 psi

 

                      f2=-2943+422 = 2521 psi

 

Cuando actual Pe, Mo, Md y Ml

 

                    f1 = 525 -422-2532 = -2429 psi

                    f2 = -2502 + 422+2532 =452 psi

 

Recordemos los límites

 

Bajo Pi y Mo             fci=-2520 psi

                                   fti=194 psi

 

Bajo Pe, Mo, Md y Ml            fcs=-3600 psi

                                                  fts= 581 psi

 

Conclusión: Aunque los esfuerzos en las diferentes etapas son satisfactorios, en la etapa Pi +Mo, quedan demasiado precisas y un leve aumento de la sección, iría por el lado de la seguridad.

 Tabla de propiedades geométricas de alambres y torones para pre y post tensionamiento.

 

Juan Fernando Sanín Echeverri

juanfernando.sanin@gmail.com