Transformaciones lineales II (2 de 2)

Medellín Marzo 2011

TRANSFORMACIONES LINEALES II

Continuando con este tema, resolvamos el siguiente problema:

T: V→W

T: R3→R3

T(x, y, z) = (x + z, y + z, x + 2y + 2z) Todo en los reales.

Verificar si los vectores (1, -1, 0) ^T y (2, -1, 3) ^T están en la imagen de T, imT.

Una base para R3 es {i, j, k}

Encontremos las transformadas de estos vectores:

T (1, 0, 0) = (1, 0, 1) ^T, T (0, 1, 0) = (0, 1, 2) ^T, T (0, 0, 1) = (1, 1, 2) ^T

El seudoexponente T significa transpuesto.

La matriz de transformación A_3x3 está formados de tal manera que sus columnas son los vectores (1, 0, 1) ^T, (0, 1, 2) ^T y (1, 1, 2) ^T

Recordemos la fórmula: ρ (T) + v (T) = 3 = número de columnas de A.

Para encontrar el núcleo nu(T) resolvemos el sistema Ax = 0

x+ z = 0

y + z = 0

x + 2y + 2z=0

Este sistema se puede reducir a:

x+ z = 0

y + z = 0

x=0

Con lo cual su única solución es la trivial, o sea el vector (0, 0, 0) y por tanto su núcleo es el vector (0, 0, 0) y su nulidad es v (T) = 0

Por tanto: ρ (T)=3

Como el rango es 3, los vectores (1, 0, 1) ^T, (0, 1, 2) ^T y (1, 1, 2) ^T

Forman una base para R3 y por tanto, la imagen de T im(T) = R3 y por consiguiente, cualquier vector en R3= W es una transformada de algún vector en R3= V, y se concluye que la respuesta al problema es que los vectores:

(1, -1, 0) ^T y (2, -1, 3) ^T

Si están en im(T).

No obstante, para repasar algunos conceptos hagamos la siguiente discusión:

Det A = -1 por tanto, la matriz A tiene inversa.

Por cualquiera de los métodos encontramos A ^-1 la inversa de A (Descrita arriba)

A ^-1 es la matriz cuyas columnas son (0, -1, 1) ^T, (-2, -1, 2) ^T y (1, 1, -1) T

Si Ax=y entonces x=A^-1y

Los vectores x en V se convierten en vectores y en W por A y los vectores y en W se convierten en vectores x en V por A^-1. Aplicando estas transformaciones al vector (1, -1, 0) ^T

A^-1 (1, -1, 0) ^T = (2, 0, -1) ^T

Y

A (2, 0, -1) ^T = (1, -1, 0) ^T

Con el segundo vector

A^-1 (2, -1, 3) ^T = (5, 2, -3) ^T

Y

A (5, 2, -3) ^T = (2, -1, 3) ^T

Por tanto, se ratifica la respuesta, los vectores indicados si están en la imagen de T.

TRANSFORMACIONES LINEALES EN R2

T(x, y) =(-y, x)

Esta transformación toma un punto o una figura en R2 y la rota 90º en sentido positivo (antihorario).

Figura 1

T(x, y) =(y, x)

Esta transformación toma un punto o figura en R2 y lo traslada a su simétrico, respecto de la recta y = x

Figura 2

T(x, y) = (-x, -y)

Esta transformación toma un punto o figura en R2 y lo traslada a su simétrico respecto del origen (0, 0)

Figura 3

T(x, y) =(nx, ny)

Esta transformación magnifica o reduce un punto o una figura en R2 de acuerdo con la siguiente regla:

Si n >1 magnifica (crece o aumenta)

Si -1

Si n< -1 Magnifica y traslada la figura al cuadrante opuesto por el origen.

Figura 4

Encontrar una matriz que nos tome el radio vector r de un punto P(x, y) y lo haga rotar un ángulo θ (En sentido antihorario)

Si el ángulo que forma r con la parte positiva del eje x es α, entonces:

x= r cos α (1)

y=r sen α

x’=r cos (α + θ)

y’=r sen (α + θ)

Expandiendo seno y coseno para una suma de ángulos y remplazando de acuerdo con las ecuaciones (1) obtenemos:

x’ = x cos θ – y sen θ

y’= x sen θ +y cos θ

Figura 5

Por tanto, la matriz que nos rota el punto P es:

Comparando con la (2), vemos que el efecto de esta transformación es rotar el vector OP un ángulo antihorario 2θ

Finalmente, qué pasaría si al vector x le aplicáramos la matriz A^o?

A⁰ = A A^-1= I

La respuesta es que nos llevaría el punto P, de nuevo sobre el punto P.

Encontrar una matriz A que nos transforme un punto P en R2 en otro P’ punto en R2, tal que P y P’ sean simétricos respecto de la recta y =√3 x

T:V→W o T:R2→R2 y

T toma un punto en R2 y encuentra su simétrico respecto de la recta: y =√3 x

Sea P(a, b) un punto en V (R2), su simétrico será P’(c, d)

El punto medio de PP’ Está sobre la recta y =√3 x

Las coordenadas de ese punto son:

M ((a + c)/2, (b + d)/2)

Como este punto está sobre la recta y =√3 x

Entonces (b+d)/2 = √3(a +c)/2, que se simplifica a:

d - √3c = a √3 - b (3)

Pero además, la pendiente de PP’ multiplicada por la pendiente de la recta, nos debe dar -1, o sea:

(d –b)/(a – c) = -1/√3

d√3 - b√3 = -a + c

Que simplificamos en

d√3 – c =b√3 – a (4)

Despejando c y d de las ecuaciones (3) y (4) en términos de a y b obtenemos:

c= (-a +√3b)/2

d=(a√3 + b)/2

Cambiando a y b por x e y y c y d por x’ e y’ respectivamente, obtenemos:

x’= (-x +√3y)/2

x’=(x√3 + y)/2

La transformación la podemos expresar así:

T(x, y) = ((-x +√3y)/2, (x√3 + y)/2

Si transformamos la base para R2 (1, 0) y (0, 1) obtenemos:

T (1, 0) = (-1/2, √3/2)

T (0, 1) = (√3/2, 1/2)

La matriz A será

Con lo cual queda demostrado que el punto medio de QQ’ está sobre la recta

y = √3x

Juan Fernando Sanin E

Juanfernando.sanin@gmail.com

Transformaciones lineales I (1 de 2)

Medellín, Marzo 2011

TRANSFORMACIONES LINEALES I

(1de 2)

Ejemplo 1:

Sea x un vector columna 3x1

x=(x, y, z) ^T (transpuesto) en R3

La siguiente instrucción nos transforma el vector x en el vector u

U=(u₁, u₂, u₃, u₄) en R4

u₁= x + y

u₂= x – y

u₃= z

u₄= z – x

La regla o instrucción dada que transforma el vector x=(1, 0 , 1) en u=(1, 1, 1, 0) se puede escribir amablemente así:

T(x, y, z) = ( x +y, x – y, z, z –x)

Este ejemplo nos da una idea general de lo que es una transformación vectorial.

Definición

En general, una transformación vectorial es una regla que toma un vector v del espacio V y o convierte en un vector w del espacio W, estando ambos, V y W son espacios vectoriales definidos en un campo matemático, que para el caso suponemos que son los reales R.

Lo escribiremos así:

T(v) = w

Si la transformación T cumple las siguientes dos condiciones la llamaremos transformación lineal:

T(a + b) = T (a) + T (b) ................. (1)

T(ka) = k T(a)

Donde a y b son vectores en un espacio vectorial V y T(a) y T(b) vectores en el espacio vectorial W y k un número real. Si la transformación no cumple las dos condiciones (1) entonces no es lineal.

Ejemplo 2

Sea la transformación T: R3 → R4 T(x, y, z)= (x –y, x + y, 2x +z, z –y)

La base más importante de R3 es i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

Tomemos dos vectores a = (a₁, a₂, a₃) y b = (b₁, b₂, b₃)

T(a + b)=

T(a₁+_b1, a₂+b₂, a₃+b₃) =(a₁+b₁-a₂-b₂, a₁+b₁+a₂+b₂, 2 a₁ +2 b₁+a³+b₃, a₃+b₃ – a₂-b₂)

Por la propiedad de la suma de vectores:

T(a + b)=(a₁-a₂, a₁+a₂, 2 a₁+a₃, a₃-a₂) + (b₁-b₂, b₁+b₂, 2 b₁+b₃, b₃ –b₂) = T(a₁, a₂, a₃) + T(b₁, b₂, b₃)

T(a + b)= T(a) + T(b)

T(ka) =T (ka1,ka2,ka3))= (ka₁-ka₂, ka₁+ka₂, 2 k a₁ +k a₃, ka₃ – ka₂)

k(a₁-a₂, a₁+a₂, 2 a₁ + a₃, a₃ – a₂) = k T(a₁, a₂, a₃) = kT(a)

Por tanto, la transformación indicada es lineal.

Ejemplo 3

Analizar si la transformación definida porT(x, y) = (x + 1, x + y), en los reales, es lineal o no.

A = (a₁, a₂) , b = (b₁, b₂)

Una propiedad importante de las transformaciones lineales:

T: V→W dimensión de V = m Dimensión de W = n

El vector 0 pertenece a V

Sea v un vector en v cualquiera.

T(0)=T (v – v)= T(v)+(-v)) = T(v) + T (-v) = T(v) – T(v) =0

Por tanto, si T es una transformación lineal, T(0) = 0

Supongamos que T: V→W, en la que: S={v1, v2,…….vn } es una base para V y

T={u1, u2,…….um} una base para W (V y W en el campo de los reales)

Expresamos la base de W en términos de la base de V

u1=a₁₁v1+a₁₂v2+…………+a_1nvn

u2=a₂₁v1+a₂₂v2+…………+a_2nvn

.......

........

.......

um=a_m1v1+a_m2v2+……….+a_mnvn

Si la matriz A_mxn = {aij} es la matriz de los coeficientes aij del sistema anterior, entonces

u=A v

y

T(v)=u donde la transformación de v queda perfectamente expresada a través de la matriz A.

Ejemplo 4

T:R3 →R2

T(x,y, z) =(2x+y, 2x+2z)

Una base para R3 es ={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) }=={i, j, k}

Transformemos los vectores de la base de R3

T(1, 0, 0) = (2, 2) ....................................... (4)

T(0, 1, 0) = (1, 0)

T(0, 0, 1) = (0, 2)

Construimos una matriz A cuyas columnas son las transformadas de i, j y k

Definiciones

T: V→W V y W en los reales

Núcleo. En una transformación lineal T, el núcleo nu(T) es el conjunto de vectores cuyas imágenes son el vector 0 y se denomina nu(T).

Imagen. El conjunto de vectores u en W, que son imágenes de vectores v en V, se denomina Imagen de T o Im(T).

El rango de T es la dimensión de la imagen de T y equivale al número de vectores independientes que forman una base para Im (T) y se escribe ρ (T)

La nulidad de T es la dimensión del núcleo un de T y se escribe ν(T)

Para encontrar el rango y la nulidad de una transformación lineal es importante conocer esta relación cuya demostración se omite.

ρ (T)+ ν(T)= n donde n es el número de columnas de la matriz A, también se puede escribir

Así:

ρ (A)+ ν(A)= n

Ejemplo 5

Hallar ρ (T), ν(T), un(T), Im(T) para T: R3 →R4

T(x, y, z) =( x - y, y + z, 2x – y - z, -x + y + 2z)

Una base para R3 es ={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) }=={i, j, k}

Encontremos las transformadas de cada uno de los vectores de la base.

T(i) = (1, 0, 2, -1)^T, T(j) = (-1, 1,- 1, 1)^T, T(k)= (0, 1, -1, 2)^T

La matriz A_4x3 de transformación tiene como columnas los componentes de los vectores T(i), T(j), T(k)

Para este caso ρ (T)+ ν(T)= 3

Para Hallar el núcleo, debemos resolver el sistema de ecuaciones Ax = 0 ya que los vectores x encontrados, son los que tienen como imagen el vector 0

x – y = 0

y + z = 0

2x – y – z = 0

-x + y + 2z = 0

Si escalonamos la matriz A de coeficientes de este sistema obtenemos:

x – y + = 0

y + z = 0

z = 0

Cuya solución única es la trivial, es decir x= 0, y= 0 z = 0 o sea el vector x = 0 , es decir el un(T) = 0, cuya nulidad v(T)=0 y por tanto ρ(T)= 3 igual al número de columnas de la matriz A.

La imagen de T im(T) es el subespacio generado por los vectores:

(1, 0, 2, -1), (-1, 1,- 1, 1), (0, 1, -1, 2)

Ejemplo 6

T: R3→R3 tal que T(x, y, z) = (2x – y + 3z, 4x – 2y + 6z, -6x + 3y – 9z)

Hallar nu, v(T), ρ(T) e im(T)

Suponemos que se trata de una transformación lineal.

La base para R3 S={i, j, k}

Buscamos la transformada de cada uno de los vectores de la base de V.

T(i) = (2, 4, -6)^T , T(j) = (-1, -2, 3)^T , T(k) = (3, 6, -9)^T

Cuya solución es la ecuación

2x – y + 3z= 0 .........................................(6)

Todos los vectores (x, y, z) que satisfagan esta ecuación son los que forman el núcleo de T. Como se trata de la ecuación de un plano, su base está formada por dos vectores independientes que podemos sacar por tanteo de la propia ecuación (6)

La v(T) nulidad de T es igual a 2

Si x = 0 e y= 3 entonces z= 1

Si z = 0 e y= 2 entonces x = 1

La base estará formada por los vectores ( 0, 3, 1) y ( 1, 2, 0)

ρ(T) + v(T) = 3 y por tanto ρ(T)= 1

La imagen de T está formada por todos los vectores que se puedan formar con el vector

(2 , -1, 3), es decir los que están en esa dirección. Im(T) = K(2 , -1, 3) número real k.

Juan Fernando Sanin

Juanfernando.sanin@gmail.com