Jardín,
octubre 2023
1. Repaso general de la función W
Sea la función f(x) = xex, cuyo dominio son los números reales. Para determinar el rango, no es posible despejar x, por lo que debemos buscar otro recurso para hacerlo.
f’(x)=xex+ex =ex(x+1)
que
es igual a 0 cuando x=-1
Para
x<-1 la derivada es negativa, lo que implica que la función es decreciente
Para
x>-1 la derivada es positiva, lo que implica que la función es creciente
Cuando
x→∞ f(x) →∞
Cuando
x→-∞ f(x) →0-
Cuando
x=0 f(x) = 0
Teniendo en cuenta los elementos anteriores, la curva de f(x) es:
Figura
1 f(x) = xex
Dominio
de f (-∞, ∞)
Rango de f =(-1/e, ∞)
Lamentablemente, la función f(x) no es uno a uno y en general no tiene inversa. No obstante se puede encontrar la inversa para la parte decreciente (-∞, -1) que llamaremos W-1 y otra para la parte creciente [-1/e, ∞) que llamaremos Wo
Dominio
W-1 (-1, 0) Rango
(-∞, -1/e)
Dominio
Wo [-1, ∞) Rango
[-1/e, ∞)
La función inversa se puede trazar, utilizando la recta y=x, como un espejo.
Figura
2, función W(x) – función de Lambert
2. Propiedades de la función W(x)
a) W(xex) = x (1)
b)
W(W(x)e
W(x) )= W(x) se deduce de
la (1) (a)
De la a) se deduce que W(x)e W(x) = x (2)
3. Derivada de la función W(x)
Utilizando la ecuación (2), derivamos implícitamente a ambos lados
W(x)e W(x) W’ (x) + e W(x) W’(x) = 1
W’(x) [W(x)e W(x) + e W(x) ] = 1; e W(x) = x/W(x) de la (2)
W’(x) = 1/[W(x)e W(x) + e W(x) ] = 1/(x + x/W(x)) = W(x)/(x(W(x) + 1)
· Un ejemplo para determinar si hemos entendido el concepto de W(x)
W(W(x)) = 1 resolver para x
Sea W(x) = u W(u) = 1
Recordemos que el punto
(1, 1*e1) pertenece a f, por tanto, su inversa W contiene el punto (e,
1)
Por tanto, W(e) =
1 u = e
W(x) = e W contiene el punto (x, e)
Y f contiene el punto
(e, x) es decir, x = eee= e (1+e)
4. Integración de W(x)
∫W(x)dx
Recordemos las propiedades de W: W(xex) = x y W(x)e W(x) = x, utilizaremos la última y derivamos implícitamente, respecto a x, a ambo lados.
Recordemos
también que s = W(x) ses = x
1=sesds/dx
+ esds/dx dx= (ses
+ es) ds la integral se
transforma en:
5.Ejemplos de función W, su derivada e integrales que contienen W(x)
x=
3,047479 Este valor lo sacamos
de una calculadora programable o por interpolación, de la tabla que se añade
como un anexo a este blog.
Si chequeamos en la ecuación original del ejercicio (2) con este valor de x obtenemos:
x-3 = 0,047479
e- x = e -3,047479 = 0,047478 falla sólo en la 6ª cifra decimal y eso porque se trabaja con aproximaciones.
3.Resolver la ecuación 4x = 3x
exln4 = 3x
1 = 3xe -xln4 →-(ln4)/3= xln4e-xln4 → W(-(ln4)/3) = W(-xln4*e(- xe (ln4)))
Pero W(-(ln4)/3) = W (-0,462098) y -0,462098<-1/e = -0,367879, es decir no está en el dominio de W(x) y por tanto este método no funciona aquí y eventualmente, la ecuación podría no tener solución real.
4.Resolver la ecuación 4x =5x
1/5 = xe -xln4 →(-ln4)/5 = -xln4 e -xln4 → W(-ln4)/5) = W (-xln4 e -xln4) = -xln4
W(-ln4)/5) = W (-0,277259) - 0,277259>-0,367879 por tanto si está en el dominio de W(x) ramas Wo y W-1
Por tablas o calculadora programable, o por derive o Maths encontramos W (-0,277259)
x = (-(ln4)/5) W(-0,277259) = -0,721348*(-0,423426) = 0,305437
Chequeamos la ecuación propuesta:
4 0,305437 = 5*0,305437
1,527184 = 1,527185 diferencia en la 6ª cifra decimal, por las aproximaciones.
5. 5. Resolver la ecuación W(x+1) = (x+1)2
El dominio de la función W(x+1) será x+1 > -1/e x>-1.367879
Recordemos que W(x) = a implica que si la dupla en W(x, a), la dupla (a, x) estará en la función directa f y por tanto x = aea apliquemos esto en el ejercicio.
(x+1) = (x+1)2e (x+1)^2
Y
(x+1)(1-(x+1) e (x+1)^2) = 0 que nos da dos soluciones; la primera es x= -1 que está en el
dominio de W(x+1)
La segunda será:
(x+1) e (x+1)^2) = 1
Elevando al cuadrado a ambos lados:
[(x+1) e (x+1)^2)] 2 = 1 2
(x+1) 2 e 2(x+1)^2) = 1
2(x+1) 2 e 2(x+1)^2) = 1x2
W(2(x+1) 2 e 2(x+1)^2)) = W(2)
2(x+1)2 = W(2)
(x+1)2 = W(2)/2
(x+1 ) = √(W(2)/2) √(W(2)/2)
= 0,652919
x = -1± √(W(2)/2) x1 = -0,347081>-1,367878,
por lo cual cumple y es una solución
x2 = -1,652919<-1,367878 no está en el dominio de W(x+1) y por tanto
no es solución.
6. Al final del blog se presentará una tabla de valores de W, tanto paraW-1 como para Wo. All utilizar la tabla, hay que interpolar.
Ejemplo: Con la tabla, encontrar el valor de W(4,732)
Veamos en la tabla
x=4,6
Wo(x) = 1,279549
x=4,732 W(x)
=?
x=4,8 W(x) = 1,303536
Cuando la diferencia entre las x es 0,2, la diferencia entre las W es 0,023987
Cuando la
diferencia entre las x es 0,132 la diferencia será:
0,023987*0,132/0,2 = 0,015831 W(x) será = 1,279549 + 0,015831 =1,2954
Con calculadora: W(4,732)= 1,295472
Con
interpolación W(4,732) = 1,2954
Obtenemos 4 cifras exactas.
Cada que
se vaya a calcular W(x), x debe estar
en el dominio (-1/e, ∞)
Para un
cálculo más sencillo y preciso, podemos utilizar calculadoras programables y si
estas no tienen directamente esta función, se hace un programa, utilizando el
método de Newton, para resolver la ecuación h(x) = W(x) – a = 0
El algoritmo del método de Newton es:
xn+1 = xn – [Wn(x) e Wn(x) - a]/[(1 + Wn(x))e Wn(x) ]
Si iniciamos con Wo= 1, la iteración se hace en Wo
Si
iniciamos con Wo= -2, la iteración se hace en W-1
Apéndice
Tablas de
W(x) para calcular W(a) por interpolación
W-1
|
x |
W(x) |
|
-1/e=0,3679 |
-1,222770 |
|
-0,2 |
-2,542641 |
|
-0,1 |
-3,577152 |
|
-0,05 |
-4,499755 |
|
-0,01 |
-6,472775 |
|
-0,001 |
-9,118006 |
|
0,0001 |
-11,667115 |
|
0,00001 |
-14,163600 |
|
0,000001 |
-16,626509 |
|
0,0000001 |
-19,066002 |
Wo
|
x |
W(x) |
x |
W(x) |
|
-1/e |
-1 |
5,2 |
1,349169 |
|
-0,3 |
-0,489402 |
5,4 |
1,370918 |
|
-0,25 |
-0,357403 |
5,6 |
1,392015 |
|
-0,2 |
-0,259171 |
5,8 |
1,412498 |
|
-0,15 |
-0,179491 |
6 |
1,432405 |
|
-0,1 |
-0,111833 |
6,2 |
1,451768 |
|
-0,05 |
-0,052706 |
6,4 |
1,470616 |
|
0 |
0 |
6,6 |
1,488979 |
|
0,05 |
0,052706 |
6,8 |
1,506881 |
|
0,1 |
0,091277 |
7 |
1,524345 |
|
0,15 |
0,131515 |
7,2 |
1,541394 |
|
0,2 |
0,168916 |
7,4 |
1,558047 |
|
0,3 |
0,236755 |
7,6 |
1,574323 |
|
0,4 |
0,297168 |
7,8 |
1,590239 |
|
0,5 |
0,351734 |
8 |
1,605812 |
|
0,6 |
0,401563 |
8,5 |
1,643337 |
|
0,7 |
0,447470 |
9 |
1,679016 |
|
0,8 |
0,490068 |
9,5 |
1,713029 |
|
0,9 |
0,529833 |
10 |
1,745528 |
|
1 |
0,567143 |
11 |
1,806502 |
|
1,1 |
0,602304 |
12 |
1,862817 |
|
1,2 |
0,635564 |
13 |
1,915152 |
|
1,3 |
0,667132 |
14 |
1,964049 |
|
1,4 |
0,697182 |
15 |
2,009944 |
|
1,5 |
0,725861 |
16 |
2,053193 |
|
1,6 |
0,753298 |
17 |
2,094093 |
|
1,7 |
0,779601 |
18 |
2,132893 |
|
1,8 |
0,804866 |
19 |
2,169803 |
|
1,9 |
0,829176 |
20 |
2,205003 |
|
2 |
0,852606 |
21 |
2,238650 |
|
2,2 |
0,897074 |
22 |
2,270877 |
|
2,4 |
0,938771 |
23 |
2,301802 |
|
2,6 |
0,967880 |
24 |
2,331529 |
|
e |
1 |
25 |
2,360150 |
|
2,8 |
1,014864 |
26 |
2,387747 |
|
3 |
1,049909 |
27 |
2,414390 |
|
3,2 |
1,083216 |
28 |
2,440146 |
|
3,4 |
1,114958 |
29 |
2,465074 |
|
3,6 |
1,145282 |
30 |
2,489226 |
|
3,8 |
1,174316 |
50 |
2,860890 |
|
4 |
1,202168 |
70 |
3,112930 |
|
4,2 |
1,228935 |
90 |
3,304519 |
|
4,4 |
1,254704 |
100 |
3,385630 |
|
4,6 |
1,279549 |
|
|
|
4,8 |
1,303536 |
|
|
|
5 |
1,326725 |
|
|
Juan Fernando
Sanín E
juanfernando.sanin@gmail.com