Números Complejos

 

Medellín, junio 2023

 

Números complejos

A.   Unidad imaginaria

Se llama así al número √(-1) y se designa por la letra i

√(-1) = i

Ejs

√(-5) = √5 i

√(-3) = √3 i

 

Al número z = a + bi se le llama número complejo en forma binómica o binomial. En general, cualquier número complejo se denota por la letra z.

 

Al número a se llama parte real del número complejo y se denota por a ∈ R, mientras que al número bi se llama parte imaginaria del número complejo y se denota por bi ∈ Im.

 

Si la parte imaginaria de un número complejo vale cero, se reduce a un número real a, ya que z= a + 0i = a.

Si la parte real de un número complejo vale cero, esto es, el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

 

Ejemplo

Hallar (1) ^(1/3)  = 1

Pues es 1. Si pero no, todo real tiene 2 raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, etc. O sea que esperamos tres raíces cúbicas de 1. Encontrémosla:

x³ - 1 = 0                 (x - 1)(x² + x +1)   y aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado obtenemos:

x² + x + 1= 0                      x = (-1 ± √(1 – 4))/2 = (-1±√(3) i)/2  y a estas dos raíces complejas le agregamos la real 1 para un total de 3 raíces.

 

B.   Números complejos

 

Con esta introducción, veamos la fórmula de Euler.

 

La serie de Taylor de una función real o compleja, infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a que pertenece a su dominio. La serie de Taylor es la siguiente serie de potencias:

f(x) = f(a)) + f’(a)(x – a)/1! + f”(a)(x – a)²/2!+          fⁿ(a)(x – a)ⁿ/n! +…..

 

Si a= 0 y 0 es del dominio de f, entonces la serie anterior se convierte en:

 

f(x) = f(0) + f’(0)x /1! + f”(0)x²/2!+          fⁿ(0)xⁿ/n! +…………. Serie Maclaurin

 

e^x, sen(x) y cos(x) pueden ser representadas por series de Maclaurin convergentes, ya que tienen infinitas derivadas en todo su dominio. Estas series son:

 

e^x = 1 +x/1! + x²/2! + x³/3! +                                  xⁿ/n!+……   (1)

 

cos(x) = 1 – x²/2! +x⁴/4 – x⁶/6! +………….                               (2)

 

sen(x) = x – x³/3! +x⁵/5! – x⁷/7! +…………….                           (3)

 

si aplicamos la fórmula (1) para ix

 

e^ix = 1 +ix/1! + (ix)²/2! + (ix)³/3/ + (ix)⁴/4! +(ix)⁵/5! + (ix)⁶/6!                               (ix)ⁿ/n!+……  

 

e^ix = 1 +ix/1! - x²/2! -ix³/3! +x⁴/4! +ix⁵/5! -x⁶/6!                                          (ix)ⁿ/n!+……  

 

Si agrupamos los términos que no tienen i y los que tienen i obtendremos:

 

e^ix = 1 – x²/2!+ x⁴/4!-x⁶/6! +           +i(x – x³/3!+x⁵/5!                 )

 

Sin mucho esfuerzo vemos que:

 

e^ix = cos(x) + isen(x)              (4)        que es la fórmula de Euler y la que le da entrada a la matemática compleja.

 

Antes de pasar a la representación de un número complejo veamos la fórmula (4) cuando x = π

 

e^iπ = cos(π) = -1                       que equivale a que:            e^iπ +1 = 0       (5)

 

C.   Representación de números complejos

 

En general, al conjunto de todos números complejos, se le designa por el símbolo C. De una manera más formal, utilizando notación de conjuntos, se le denota como:

 

C = a + bi , donde a y b ∈R e i∈ Im  (Im = imaginarios)

Los complejos a + bi y –a –bi   se denominan contrarios

Los complejos a + bi y a – bi    se denominan conjugados

 

Representación de los números complejos.

La representación es similar a la de un vector (a, b) donde a es la parte real y b es la parte real del imaginario.

Binómica       z = a + bi

Polar             z = r_α       donde r es el módulo y α el argumento, siempre en radianes. Enseguida definimos módulo y argumento.

Trigonométrica           z = r (cos α + i sen α)   donde r es el módulo y α es el argumento. El argumento se puede expresar en grados o en radianes, pero se producen más errores en cálculos con complejos, cuando lo expresamos en grados (deg).

El vector z = a + bi , tiene un módulo r>0 = √(a² + b²), donde a y b pertenecen a los reales y pueden ser positivos o negativos y cuando se expresan genéricamente, el signo está implícito.

Ejemplos de complejos en forma binómica

3 + 2i

-5 + 3i

-4 – 4i

1 – 5i

 

D.   Operaciones entre complejos:

Primero veamos cuánto vale i*i = √(-1)*√(-1) = -1           i*i = -1

Suma

La suma de un complejo es clausurativa, es decir, da como resultado un complejo. El procedimiento es sumar las componentes reales por aparte y las componentes imaginarias por aparte. Si en la suma desaparece el imaginario, recordar que R está contenido en C.

(3 + 2i) + (2 – 5i) = 5 – 3i

La suma, tal cual se definió es asociativa.

Resta

La resta de complejos, viene definida por el conocimiento que tenemos de la resta de los reales y la suma de los complejos.

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i   La resta es clausurativa, pero el orden en que se presentan es muy importante. No es conmutativa.

Multiplicación

La multiplicación de complejos se hace tal cual se hace el producto en algebra elemental. La multiplicación es clausurativa, aunque ocasionalmente el producto de dos complejos pudiera resultar en un real puro, pero debemos recordar que el conjunto R está contenido en el conjunto C.

(a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi²

= ac + (ad + bc)i – bd  = (ac – bd) + (ad + bc) i

División

La división entre complejos está definida, pero para tener un resultado, hay que multiplicar y dividir la fracción, por el conjugado del denominador.

(a + bi)/ (c + di)

[(a + bi) (c –di)] / [(c + di)(c – di)]  = ac –adi + bci +bd)/(c² – (di)²)

= (ac – (ad – bc)i + bd) /(c² + d²)         Que es la división de un complejo por un real, que obviamente es evidente. La división entre complejos, también es clausurativa, es decir pertenece a los complejos.

E.   Modulo y argumento.

Como vimos, el módulo de un vector a + bi siempre será r = √(a² + b²) > 0

Pero el argumento depende del cuadrante donde se encuentre el número complejo, que se representa en un plano cartesiano, en donde los reales se definen sobre el eje x y la parte real del imaginario en el eje y.

Veamos esto en un gráfico

Fig 1 Módulo y argumento de un número complejo

La gráfica explica muy bien los conceptos de módulo y argumento.

 

Ejercicio

Escribir el complejo -3 + 4i    en forma trigonométrica y polar

r = módulo                     r = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = 5

Argumento α   Está en el segundo cuadrante, el argumento principal es 180 - α

Entonces α = arctang abs(4/(-3)) = 53,13010235

Argumento principal            126,869898 deg = 2,21 rad

Argumento general              126,869898 + 360k,     k=1, 2, 3,         numero de vueltas que le demos al ángulo.

En radianes el argumento general sería: 2,21 + 2πk

cosx = -0,6

senx = 0,8

El Complejo en forma trigonométrica será:       

5(cos(126,869898) + i sen(126,869898)

5(-0,6 + i 0,8)

En forma polar

z= 5 _{126,869898 deg         cualquier operación posterior hay que realizarla con el argumento en radianes   126,869898 deg = 2,21 radianes}

Aunque esta notación es usada, podría ser mejor si utilizáramos la fórmula de Euler:

z = re^xi = re ^{(x + 2πk)i}

Z = 5e^2,21i = 5(cos2,21 + isen2,21)                     ahora el argumento es 2,21 rad

 

F. Potencias y raíces de números complejos – Teorema de De Moivre

z = a + bi

En forma trigonométrica

z= r(cos(x) + i sen(x)                              x es el argumento del complejo y r el módulo

Veamos esta curiosidad:

i^i = i ⁱ

^πi/2 = 1(cos(π/2 + isen(π/2)     de acuerdo con el teorema de Euler y argumento π/2 radianes

e^πi/2 = i        ya que cos(π/2) = 0        sen(π/2) = 1

(e^πi/2)^i = i^i                 en el lado derecho, por propiedades de exponentes, entramos

a multiplicar el i y obtenemos             e ^{[(i)^2*(π/2])}=i^i = e^-π/2

Por lo que i^1 nos da un número real que contiene a e y a π

Más aun, nos da infinitas soluciones, cuando el número de vueltas para llegar a π/2 sea 1, 2, 3,   ……….

 

El teorema de De Moivre

Sean z, w ∈ C, no nulos. Entonces arg(z.w) = arg(z)+arg(w)−2kπ para algún k ∈ Z, Z conjunto de los enteros.

Demostración:

Sea α = arg(z) y sea β = arg(w).  Limitemos estos argumentos a α<2π y β<2π

Entonces z = |z|(cos α + isen α); w = |w|(cos β + isen β);    |z|, |w| módulos de z y w

Luego, z.w = |z|(cos α + isen α)|w|(cos β + isen β)

= |z|.|w| ((cos α cos β − sen α sen β) + i(cos α sen β + sen α cos β))

= |z.w|(cos(α + β) + i(sen (α + β))                                                      (6)

α + β = es el argumento de z.w

Qué pasa si α + β >2π y < 4π, el argumento de z.w será:

arg(z.w) = arg(z) + arg(w) − 2π, para que nos dé un argumento <2π

Corolario 1. Sea z ∈ C, z diferente de 0, y sea n ∈ N (naturales). Entonces arg(z ⁿ) = n arg(z) − 2kπ, para algún k ∈ Z, tal que el argumento de (z ⁿ) sea <2πk.

Corolario 2. Sea z ∈ C, z diferente de 0. Entonces arg(z ⁻¹ ) = − arg(z) - 2kπ para algún k ∈ Z.

Corolario 3. Sea z ∈ C, z ^m= w y sea m ∈ Z (Enteros). Entonces arg(z ^m) = m arg(z) − 2kπ, para algún k ∈ Z y que arg(z ^m) sea < 2πk. Luego, si α = arg(z), entonces:

z ^m = |z| ^m (cos (mα) + isen (mα)            válido y demostrable para m entero y

extensible a m cualquier número real.

G.   Demostración, por inducción matemática, del Corolario 3

(a + bi) ⁿ = r ⁿ((cos(nx) + i sen(nx))

Por ejemplo para n =1             (a + bi)¹ = r¹(cos(1x) + isen(1x))

Vemos que para n = 1, se cumple. Ahora supongamos que se cumple para un valor n y demostramos que se cumple también para n + 1, con lo cual queda demostrado que cumple para todo n.

A continuación, consideramos los casos con n y n + 1

zⁿ = (r(cos(x) + isen(x))ⁿ = rⁿ (cos(nx) + isen(nx)), para algún valor de n, que pertenece a los enteros. Suponemos que esto es cierto porque sabemos que para n= 1 cumple.

Veamos qué pasa con n + 1

zⁿ⁺¹ = rⁿ⁺¹(cos(x) + i sen(x))ⁿ⁺¹       Esta expresión es igual a:

zⁿ⁺¹ = rⁿ⁺¹ ( cos((n+1)x) + isen(n+1)x))            (7)

Y también debe ser una proposición verdadera.

Analicemos

zⁿ⁺¹ = rⁿ (cos(nx) + i sen(nx))ⁿ r¹ (cos(x) + i sen(x))      = zⁿ*z¹

Es verdadera, porque hemos supuesto que para n es verdadera y sabemos que para n=1 también se cumple

Haciendo el producto:

=rⁿr1(cos(nx)cos(x) + i(cos(nx)sen(x) + isen(nx)cos(x)) – sen(nx)sen(x))

Y agrupando

=r ⁿ⁺¹ (cos(nx)cos(x) – sen(nx)sen(x)) + i(cos(nx)sen(x) + sen(nx)cos(x))

= rⁿ⁺¹(cos(nx+x) + i sen(nx+x))

zⁿ⁺¹ = rⁿ⁺¹(cos((n+1) x) + i sen(n+1) x)                                                      (8)

También resultó verdadera, luego cumple para n y para n+1.

Como cumple para 1, también cumple para 0, ±1, ±2 y todos los enteros.

Más difícil es demostrar esta proposición si n no se limita a los enteros, sino que se extiende a todos los reales. Lo vamos a aceptar. Y eso nos permitirá elevar a cualquier potencia o sacar cualquier raíz.

 

Ejemplo

Sacar la raíz cúbica del complejo:       z = -3 + 4i

Lo debemos escribir en forma trigonométrica:

z = 5(cos 126,869898 + i sen 126,869898)

z^(1/3) = 5^(1/3) ( cos((126,869898) +360k)/3 + i sen ((126,869898+360k)/3))

z^(1/3) = 1,709976 (cos(42,289966 + 120k)+ sen (42,289966 + 120k))

k = 0

z^(1/3) = 1,709966 (0,739749) + 0,672828 i)

otra con k=1

z^(1/3) = 1,709976 (cos (42,289966 + 120)+ i sen (42,289966 + 120))

z^(1/3) = 1,709976 (cos (162,289966)+ i sen (162,289966)i)

z^(1/3) = 1,709976 (-0,952608+ 0,304199 i)

otra con k = 2

z^(1/3) = 1,709976 (cos (42,289966 + 240)+ sen (42,709976 + 240)

z^(1/3) = 1,709976 (0,212859 - 0,977082 i)

Utilizando DERIVE elevé cada una de estas raíces a la potencia 3 y siempre encontré

z= -3 + 4i

Ejemplo

8 ^(1/3)   raíz cúbica de 8.

Sabemos que una de ellas es 2. Las otras dos las sacamos de aplicar De Moivre al Complejo

z=8 + 0i                              cuyo módulo es 8 y cuyo argumento es 0^- deg

z^(1/3) = (8) ^(1/3) (cos (0 +360k)/3) +i sen(0 +360k)/3))      k =0, 1, 2,

k = 0                                      z^(1/3) = 2

k = 1                  z^(1/3) = 2 (cos 120 + i sen 120)   = 2 (-1/2 + i √(3) /2) = -1 + √(3) i

k = 2                  z^(1/3) = 2 (cos 240 + i sen 240)   = 2 (-1/2 – i √(3) /2)  = -1 - √(3) i

Para el mismo caso, no utilicemos la fórmula de De Moivre, sino la ecuación x³ = 8

x³ – 8 = (x - 2)(x² +2x +4)      ya tenemos una raíz x₁ = 2

Resolvamos la ecuación de segundo grado        x² + 2x + 4= 0

Fórmula de segundo grado

x= (- 2 ± √ (4 -16)) /2 = (- 2 ± √ (-12)) /2 = (- 2 ± 2√ (3) i))/2

x₂ = -1 + √ (3) i                                           x₃ = -1 -√ (3) i   que coinciden a las obtenidas aplicando DeMoivre.

Raíces chequeadas con DERIVE y que efectivamente, a elevarlas a 3 nos da 8

 

Ejemplo

z= 3+4i                                   hallar z^-1

r= 5

n = -1

z^^(-1) = 5^-1(0.6+0.8i)^-1,          argumento = tan^-1 0.8/0.6 =53,130102 deg = 0,927295 rad

5^-1 = 1/5 = 0,2

Recordemos la fórmula de De Moivre        zⁿ = rⁿ(cosnx+2πk) + sen(nx+2πk)   k entero. Si el ángulo lo estamos trabajando en radianes, la fórmula lleva 2π, si estuviéramos trabajando en deg utilizaríamos 360 deg

z^-1 = (5 ^-1)(cos(0,922795(-1)+2πk) +i sen(0,927295*(-1)+2πk))

Para k= 0

z^-1 = 0,2(0,6-0,8i)      con DERIVE hagamos la operación z^-1

0,2(0,6-0,8i)^-1 = 0,12+0,16i  

y podríamos encontrar k respuestas, para valores diferentes de k    -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

La que encontramos es para k = 0

Ejemplo

z =  -6 – 8i

Hallas z⁸

El complejo en representación trigonométrica   argumento = 360 – 53,130102

= 306,869898 deg y el argumento general es 306,869898+360k      k pertenece a Z

= tan ^-1 ABS [(-8)/(-6]) = α = 53,130102 deg, argumento = 360 - α        r = 10

z = 10 (cos (306,869898 +360k) + isen (306,869898 + 360k )

z⁸ = 10 ⁸ ((cos 8(306,869898 +360k) + isen 8(306,869898) +360k)))

z8 = 10⁸ ((cos2454,959184+2880k )+ sen(2454,959184+2880k)i))

Como estamos utilizando deg, la fórmula es con 360k. Es indiferente utilizar deg o rad, siempre y cuando sepamos en que unidades se valora el argumento y seamos consecuentes, ya que estamos trabajando con seno y coseno. Pero si en alguna parte utilizáramos el argumento (no en una función trigonométrica), obligatoriamente tenemos que trabajar en radianes.

k = 0

z⁸ = 10⁸ (cos 2454,959184 + isen 2454,959184)))

= 10⁸ (0,421972 - i 0,906609)   

Esta es la respuesta para k= 0, hay una respuesta diferente para cada entero.

Para terminar, encontremos el número complejo igual a z = -6 – 8i

expresado con el número e                   

re^ix = r (cos(x) + i sen(x)),  x = argumento en radianes.

306,869898 deg  = 5,35589 rad

El complejo se escribiría así:            10e^{5,35589 i}            r=10

En este problema no podemos utilizar el argumento en deg = 306,869898 deg, sino el argumento en radianes

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com