Problema de construcción de circunferencias tangentes a una semicircunferencia. Alto grado de dificultad.

 Medellín, febrero 2023

Problema 1.

Cuál es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias, tangentes a la semicircunferencia de radio R y a su diámetro.

 Figura 1, correspondiente al problema 1

1 Lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la semicircunferencia de radio R y a su diámetro.

u² + v² = R²

(u – x)²+(v - y)² = y² = r²                           (1)         distancia entre P y Q

u² - 2ux + x² + v² - 2vy + y² = y²

R² - 2(ux+vy) + x² = 0

v = yu/x      x = PE y y = r                                          (2) por P y Q estar sobre la recta =CQ  y   ΔCQR semejante a ΔCPF

R² – 2(ux +uy²/x) + x² = 0

R² – 2u(x + y²/x) + x² = 0                                       (3)

Por semejanza de triángulos CQR y PQE       

u= Rx/(R-y)                   y                     R/u = y/(u-x)              (4)

Reemplazamos en la (3)

R² – 2Rx(x + y²/x)/(R – y) + x² = 0      Este es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes al diámetro y a la circunferencia. Simplificando.

 

R³-x²y – Rx² –R²y – 2Ry² = 0

Chequemos para x = 0             R³ –R²y -2Ry² = 0          o          y²+(R/2)y – R²/2 = 0

y = R/2                                   se ve que cumple.

Ahora con y=0                                        R³ – Rx² = 0               R(R² – x²)

= R(R + x)(R – x) = 0

Solución:

x= -R y x = R        y vemos que también cumple.

El lugar geométrico es la curva: R³-x²y – Rx² – R²y – 2Ry² = 0

Fig 2 Curva que es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la circunferencia de radio R y a su diámetro.

Problema 2

En la figura 2, hallar el punto D, centro de una circunferencia tangente a la circunferencia de radio 2R y a su diámetro y además, DF = OF = R

El problema se reduce a encontrar el ángulo <a, tal que la distancia DF sea igual a R, lo cual no va a ser fácil.

Figura 3 Ángulos importantes en la resolución del ejercicio.

Veamos los ángulos:

<DAR = a

ADR = 90 – a

ΔAOF es isósceles y el ángulo en <F = a

ΔDOF es isósceles y los ángulos iguales son <FOD = <FD0 = 90 – a/2

<FDS 0 90 + a/2

<SDA 0 90 – a/2

Y el ángulo RDO = Φ

Sumando los ángulos alrededor de D observamos que;

(90-a/2)+ (90+a/2) + (90-a/2) + (90 – a) + Φ = 360

Concluimos que                Φ = 3a/2

Si x = AD

DR = r radio de la circunferencia con centro en D y radio r, es xsen(a)         y

Ya que SD es el radio de la circunferencia que estamos buscando: DO = R – xsen(a)

Encontremos AB = 2R en función de x y ángulo <a

xcos(a) + (R - xsen(a))sen(3a/2) = R                                                                 (1)

El triángulo AFB es rectángulo, por tanto

x + R = 2Rcos (a)                                                                                                (2)

Reemplazando la x encontrada en la ecuación (2), en la (1) y simplificando, obtenemos la ecuación:

2cos²(a) – cos (a) + (1 – 2sen(a)cos(a) + sen(a)) sen (3a/2) = 1

Ecuación que debemos resolver para encontrar el valor del ángulo <a.

Yo creo que esta ecuación no la hubiera podido resolver nunca, ni en mis épocas de estudiante ni de profesor, si no hubiera aprendido DERIVE y lo hubiera podido utilizar aquí.

DERIVE lo resuelve por métodos numéricos, (Método de Newton) y le damos un intervalo apropiado para que comience la iteración. En este caso puse el DERIVE en modo radianes y el intervalo para la iteración entre 0,5 y 1,2 radianes. Si no doy el intervalo cercano a la solución, DERIVE se puede enloquecer y comenzar a buscar en la ecuación muy lejos de la solución y no encontrarla. 

<a = 37,494 deg

 

La construcción es como sigue:

 

1. Se dibuja la semicircunferencia de radio R

2. Se construye la línea ADF, que hace un ángulo <DAO = 37,494 deg

3.Desde el punto F se traza una circunferencia de radio R y centro en F y determinamos el punto D.

4. Trazamos por D la perpendicular a AO. Ese es el radio r de la circunferencia que estamos construyendo. Construimos la circunferencia con centro en D y radio r.

 

Problema 3

En La gráfica siguiente:

Construir las circunferencias tangentes a las circunferencias de radio R/2, a la circunferencia original y al diámetro vertical de esta última.

Encontrar el área del trapecio indicado.

 Figura 4, problema 3

 Construimos unas líneas adicionales de ayuda.

Figura 5

Llamamos x la proyección de BF sobre AC y h la altura del triángulo FBC

Se dan las siguientes ecuaciones:

x + r = R/2                                                                    (1)

h² = (R/2 + r)² – x² = (R – r)² – r²                                  (2)

R²/4 + Rr + r² –x² = R² -2Rr + r² – r²     reemplazando x por R/2 - r

R²/4 + Rr + r² –(R/2 – r)² = R² -2Rr + r² – r²

R²/4 + Rr + r² –(R²/4 – Rr +r²) = R² -2Rr + r² – r²

4Rr – R² = 0            r= R/4       (como x + r = R/2, entonces x = R/4 y el triángulo BCF es isósceles (su altura es mediana) y su lado es R/2 +R/4 = 3R/4      (en este triángulo su altura h es también mediana y eso lo convierte en isósceles)

La construcción se hace así, figuras (3) y (4)

Por B trazamos circunferencias de radio 3R/4 por el punto medio de BC, trazamos la altura y donde se corten la circunferencia y la altura estará el punto F.

Por F trazamos la perpendicular al radio vertical de la circunferencia mayor y obtenemos el radio de la circunferencia pequeña. Trazamos esa circunferencia con ese radio y centro en F

h² = (R – R/4)² – R²/16 =8R²/16       h = (R√2)/2

El área del trapecio será                 Área = {[(R/4 + R/4) + (R/2 + R/2)]/2} h

= (3R/4) R√2/2 = 3√2R²/8

 

Juan Fernando Sanin E

juanfernando.sanin@gmail.com