Función de Lambert 6 - Derivación e integración de la función de Lambert

 

Medellín, enero 2021

 

 

Derivación e integración de la función W de Lambert

 

 

Aunque no hay manera de encontrar la función W(x) en forma explícita, si es posible encontrar su derivada y su integral indefinida.

 

Derivación

Gráfico (1)

Si f(x) = xeᶺx, W(x) es una función que toma la imagen xeᶺx por f y la devuelve a su valor x

W(xeᶺx) = x

Hay que tener cuidado de utilizar correctamente el dominio y el rango de W(x).

 

Sea la relación               x=W(x)eᶺW(x)                    (1)

Nota: Para entender la ecuación (1), pensemos que x está en el conjunto B (dominio de W(x) ). La función W la convierte en W(x), que se encuentra en el rango de W (Conjunto A). Ahora si le aplicamos la función original f  a este elemento W(x), W(x)e^W(x) nos regresa al elemento original x en B.

 

Derivemos implícitamente, respecto de x, la ecuación (1)

 

1= W(x)eᶺW(x)dW/dx + eᶺW(x) dW/dx

 

Despejemos dW/dx

 

dW/dx=1/(W(x)eᶺW(x)+ eᶺW(x)) = 1/(eᶺW(x)( W(x) +1))          (2)

 

reemplacemos eᶺW(x) por x/W(x)     (recordar que x=eW(x) W(x) ) de la ecuación (1)

 

dW/dx=W(x)/(x(1+Wx),  siempre moviéndonos en el dominio de W

 

 

 

dW/dx=W(x)/(x(1+Wx)                   (3)

 

 

Esta derivada se puede evaluar en cualquier valor de x, siempre y cuando x esté en su dominio. (el de W(x) co conjunto B.

 

Integración de W(x)

 

∫W(x)dx                                                         (4)

 

u=W(x)        x en el dominio de W

 

x = ueᶺu ,     La función original f se le aplica a u y nos lleva a x

 

dx/du = (ueᶺu+eᶺu)              y       dx=(ue^u+e^u) du

 

∫W(x)dx = ∫udx= ∫u(ueᶺu+eᶺu)du                                                       

 

∫(ueᶺudu+∫uᶺ2eᶺu)du           ambas integrales se realizan por partes:

 

I: ∫(ueᶺudu

f=u                         dg=eᶺudu

df=du                     g=eᶺu

 

∫(ueᶺudu =fg -∫gdu =ueᶺu -∫eᶺudu = ueᶺu -eᶺu                          I

 

II: El segundo integral

 

∫uᶺ2eᶺu)du     también por partes

 

f=uᶺ2                         dg= eᶺudu

df = 2udu                  g= eᶺu

 

= (uᶺ2) eᶺu - 2∫u eᶺudu = (uᶺ2) eᶺu – 2[u eᶺu-eᶺu]                   II

 

El integral ∫udx es:         I + II

 

∫(ueᶺudu+∫uᶺ2eᶺu)du          

 

= ueᶺu -eᶺu +(uᶺ2) eᶺu – 2[u eᶺu-eᶺu] =eᶺu[(uᶺ2) -u +1) +C

∫W(x)dx = eᶺW(x)[(W(x)ᶺ2) -W(x) +1) +C        (4)

 

Ejemplo

 

Dada la gráfica de W(x)

Gráfico (2)

Ejemplo

 

Hallar el área debajo de la curva entre x=0 y x=15

 

Evaluamos la ecuación (4) en 0 y en 15

En 0

W(0)=0

eᶺ0 =1

La anti derivada de W en x=0

 

1(0 -0+1) = 1

 

En x=15

 

W(15) =2,00994

 

eᶺ2,0094 =7,462870

 

La anti derivada en x=15 es

 

7,462870(2,00994² - 2,00994+1) =7,462870(4,039859 – 2,00994 +1)

=22,620981

 

Área =22,620981 – 1 =21,620981 unidades de área

 

 

 

 

Juan Fernando Sanín E

juanfernando.sanin@gmail.com

Funcion de lambert 5 - Aplicaciones de la función de Lambert

 

Medellín, enero 2021

 

 

Aplicaciones prácticas de la función de Lambert

 

Hagamos un leve repaso del concepto de función inversa de f

 

Si la función f es uno a uno, tiene inversa f^-1. El gráfico (1) nos refresca la memoria sobre este concepto.

Gráfica (1)

Consideremos la función

 

f(x)=xe^x

 

Obviamos el proceso para dibujar la gráfica de f(x) y presentamos su dibujo.

 

Gráfico (2)

Dominio de f=  Reales

Rango  (-1/e,∞)    

La función no es inyectiva, lo que en teoría nos diría que no debe tener inversa. No obstante los matemáticos han encontrado implícitamente dos inversas para f, las funciones W-1 que corresponde a la inversa de la parte decreciente y y Wo que corresponde a la parte creciente de f.

 Las ramas W-1 y Wo se muestran en el gráfico No 3

Gráfico (3)

El dominio y el rango de W-1 y Wo están explícitos en la gráfica No3

 

No es posible hallar explícitamente la función de Lambert (W-1 y Wo) o f^-1de xe^x, pero se puede construir la gráfica de W(x) a partir de la´ función f(x)= xe^x.

En el pasado eso era muy complicado, ya que no se poseían las herramientas computacionales adecuadas y por tanto la función de Lambert no dejaba de ser una curiosidad matemática.

Hoy es fácil encontrar cualquier valor de W(a), con tal que a pertenezca al dominio de W y por tanto la función ha tomado un nuevo aire en matemáticas y física.

 

W-1
z	z	W
"-1/e"	-0,367879	-1,000000
	-0,360000	-1,222770
	-0,300000	-1,781337
	-0,200000	-2,542641
	-0,100000	-3,577152
	-0,010000	-6,472775

Gráfico (4)

Wo
z	z	W
"-1/e"	-0,367879	-1,000000
	-0,300000	-0,489402
	-0,250000	-0,357403
	-0,200000	-0,259171
	-0,150000	-0,179491
	-0,100000	-0,111833
	-0,050000	-0,052706
	0,000000	0,000000
	0,500000	0,351734
	1,000000	0,567143
	1,500000	0,725861
	2,000000	0,852606
	2,500000	0,958586
	3,000000	1,049909
	4,000000	1,205962
	5,000000	1,326725
	6,000000	1,432405
	7,000000	1,524345
	8,000000	1,605812
	9,000000	1,679016
	10,000000	1,745554
	11,000000	1,806500
	12,000000	1,862820
	13,000000	1,915150
	14,000000	1,964050
	15,000000	2,009940

 

 

Ejemplo1

 

Resolver

 

xᶺx=3     (1)

 

Desarrollo

lnxᶺx=ln3

xlnx=ln3

Cambiamos x por e^lnx 

lnx e^lnx = ln3        (2)

 

u=lnx

 

La (2) queda

ueᶺu=ln3    y

W(ueᶺu) = W(ln3)

 

Siendo Ln3>0, la rama que se utiliza de W es la Wo

 

Ln3=1,09861229

 

Wo(1,09861229) = 0,601829    Wo(ln3) se calcula en Excel, o en calculadora programable o interpolando la tabla 2

 

=W(ueᶺu) = u = lnx

 

u = Lnx=0,601829   

 

x=eᶺ0,601829 = 1,825454505

Ejemplo2

 

Resolver

 

eᶺx=xᶺ2     (1)

 

Saquemos raíz cuadrada a ambos lados

 

Abs(x)= eᶺ(x/2)

 

Si x>0 entonces abs(x)=x

 

x= eᶺ(x/2)

x/ (eᶺ(x/2)) =1

x eᶺ(-x/2) = 1

(-x/2) eᶺ(-x/2)= -1/2

- x/2 = W(-1/2)

 

Pero -1/2 no está en el dominio de W-1 ni de Wo, por tanto, no hay raíz real en este caso.

 

Si x<0 entonces abs(x)=-x

 

-x= eᶺ(x/2)

-x/ (eᶺ(x/2)) =1

(-x/2) eᶺ(-x/2) = 1

(-x/2) eᶺ(-x/2)= 1/2

W((-x/2) eᶺ(x/2))= - x/2 = W(1/2)

 

½ si está en el dominio de Wo

 

Por calculadora, o calculando por la fórmula de Newton, o interpolando la tabla, obtenemos

W(1/2) =-x/2 = 0,35173371

Y

x= - 0,70346742

 

Ejemplo 3

 

Resolver

 

2x + 3lnx -3= 0                            (1)

 

Lnx= (3 -2x)/3 =1 – (2x/3)

 

eᶺlnx = eᶺ(1 – (2x/3))=(e^1)e^(-(2x/3))

 

x/eᶺ( – (2x/3)) = e

 

xeᶺ (2x/3) =e

 

(2x/3)eᶺ(2x/3) =2e/3

 

2e/3>0, luego utilizamos la rama Wo

 

W((2x/3)eᶺ(2x/3)) =W(2e/3)

 

2x/3 = 0,807889

 

x= 1,211819

 

 

Calculo de W(x)

 

Otros valores de W(x) hay que calcularlos de forma numérica, mediante el procedimiento de Newton u otros procedimientos que convergen más rápidamente como el de Halley.

El cálculo de W(x) para un valor dado de x requiere resolver la ecuación

 

transcendente, f(w)= we^w - x=0.

 

El método de Newton calcula la raíz de la ecuación mediante un proceso iterativo de la siguiente forma:

 

Para x≥0, hay una única solución (rama Wo), el valor de partida aconsejable es w₀=1.

Para -1/e ≤x<0, hay dos posibles soluciones, para la rama W₀(x) se elige el valor de partida w₀=1, para la rama W_-1(x) se elige el valor de partida w₀=-2

 

Encontramos el valor de w, que hace f(w)  = 0

 

f(w) = weᶺw - x

 

wn+1= wn − (wneᶺwn- x)/((eᶺwn(1+wn))

 

f'(w) es la derivada de f(w) respecto de w. f'(w)=e^w+w·e^w=(1+w)e^w.

Juan Fernando Sanin Echeverri

juanfernando.sanin@gmail.com