Medellín,
Septiembre de 2012
Elementos matemáticos de las curvas de carretera
espiralizadas
Tal
como se había mencionado en el blog anterior, en esta entrada vamos a realizar
las demostraciones matemáticas y geométricas, relacionadas con las fórmulas que
se utilizaron en el desarrollo del tema de las curvas de carreteras
espiralizadas.
1. θ en términos de
L y ecuaciones paramétricas de la clotoide, en términos del parámetro θ
En
primer lugar consideremos la figura 1
Sea
el punto P(x, y), sobre la clotoide. En este punto la clotoide ha avanzado una
longitud L, el radio de curvatura es R y el ángulo que hace este radio de
curvatura con la perpendicular a la tangente en TE (eje y) es θ.
Sabemos
que las variables L y r, están relacionadas por la fórmula LR = A2
Donde
A es la constante de la clotoide.
Además
sabemos del cálculo que dθ = dL/R (1) y
que
Si
L = A2/R dL =( -A2/R2)
dR (2)
dθ=
=( -A2/R3) dR (3) integrar obtenemos:
θ=
A2/2R2 (4), cuando θ1 tiende a 0, h tiende a infinito, y si θ = θ, entonces R = R
Debemos integrar entre los siguientes límites, así:
Debemos integrar entre los siguientes límites, así:
θ =
θ1, cuando R = h
θ =
θ, cuando R= R
Luego
llevamos la expresión (4) al límite, cuando h tiende a infinito y obtenemos el valor de θ
θ =
A2/(2R2) (5)
θ = A2/(2(A2/L)^2) = L2/2A2 (6)
Vamos
a calcular las coordenadas (x, y) del Punto P
Volvemos
a la figura 1, especialmente al detalle que está a la derecha.
Figura
1
Recordemos
la expansión de las funciones sen y cos en series de potencias.
cosθ
= 1 – θ2/2! + θ4/4! –θ6/6!+.............. (-1)n θ2n/(2n)!
+…
senθ
= θ – θ3/3! + θ5/5! -............... (-1)n
θ(2n+1)/(2n+1)!+….
θ
en radianes. Estas series son convergentes para todo θ
dx= cosθ dL (7)
dy = senθ dL (8)
dx= cosθ dL= (1 – θ2/2! + θ4/4! –θ6/6!+..)dL (9)
Cambiamos
θ por L2/2A2
(fórmula 6)
dx=
( 1 – L4/8A4 + L8/(24x16A8)+ )dL
x=(L
– L5/40A4 + L9/9x384A8 - ),
x =
L( 1 – (L2/2A2)^2/10 + (L2/2A2)^4/216
-..
Como
θ = (L2/2A2)^2
x = L( 1 – θ2/10 + θ4/216
-..... ) (10)
De
igual forma hallamos el valor de la coordenada y
y= L(θ/3 – θ3/42 + θ5/1320+…) (11)
Como
las series infinitas para sen y cos son
convergentes para todo θ, pero convergen más rápidamente para valores de θ
pequeños < 1radian, la experiencia ha mostrado que las fórmulas (10) y (11) requieren pocos términos para obtener muy buenas aproximaciones en el caso de
las clotoides en las carreteras.
La
fórmula (10) se debe trabajar con 3 términos, mientras que la (11) es
suficiente con 2 términos.
1. Determinación de
k y p
k
es la distancia, sobre la tangente, entre él TE y el PC (De la curva circular,
en el caso de que no se hubiera hecho la transición espiralizada) y p es el disloque, es
decir la distancia perpendicular a la tangente entre el PC y el PC’, siendo el
PC’ otro punto ficticio, en la prolongación de la curva circular dislocada. Ver
figura 2.
En
la gráfica 2, analicemos el triángulo rectángulo sombreado en verde. El ángulo
θe, es el ángulo total de la espiral, el que hace el radio de curvatura con el
eje y (de la figura 2), que por correspondiente es también el ángulo que hace
el Radio con la prolongación de la recta PC – PC’ (Por la propiedad de los ángulos correspondientes).
Figura
2
senθe=(Xc
– k)/Rc (12)
Despejamos
k y obtenemos k = xc – Rc
senθe (13)
cos
θe = (Rc + p – yc)/Rc (14)
Despejamos
p y obtenemos p = yc –
Rc(1 – cosθe) (15)
1. Cálculo de la
tangente máxima y de la externa.
Lo
único que nos queda faltando para tener la curva espiralizada completa, es
averiguar el valor de la externa Ext y la Tangente larga Te = TE - PI
Veamos
la figura 3
∆
es el ángulo que hacen las tangentes (ángulo de deflexión), ∆c es el ángulo al
centro de la curva circular de la curva espiralizada.
Te
la tangente máxima de la curva espiralizada
Ext es la externa de la curva espiralizada.
Figura
3
Te
= k + PC-PI
Te = k + (Rc + p)tan(∆/2) (16)
Además:
Cos(∆/2) = (Rc + p)/Rc + Ext)
Ext = (Rc + p)/cos(∆/2) – Rc (17)
Juan Fernando Sanin E
juanfernando.sanin@gmail.com